1. Đặt x = √2.cosα và y = √2.sinα (với α trên [0,3π/2]) 
Ta có: P = 4√2(sinα + cosα)(1 - sinαcosα) - 6sinαcosα 
Đặt t = sinα + cosα = √2.sin(α + π/4) có |t| ≤ √2, nên sinαcosα = (t^2 - 1)/2 
suy ra P = -2√2.t^3 - 3t^2 + 6√2.t + 3. 
Đến đây bạn áp dụng P' = 0 rồi xét các gtrị cực trị. 

2. Đặt x = cosα và y = sinα (với α trên [0,3π/2]) 
Biến đổi P = (6sin2α + cos2α + 1) / (3 + sin 2α - cos 2α) 
Mặt khác lại có (cos2α)^2 + (sin 2α)^2 = 1. 
Ta áp dụng P' = 0 tiếp.

\(x^2+2xy+7.\left(x+y\right)+2y^2+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y^2\right)+7.\left(x+y\right)+\dfrac{49}{4}+y^2-\dfrac{9}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+\dfrac{7}{2}^2\right)=\dfrac{9}{4}-y^2\)

\(Do\left(x+y+\dfrac{7}{2}^2\right)\ge0\Rightarrow\dfrac{9}{4}-y^2\ge0\Rightarrow y^2\le\dfrac{9}{4}\)

Mà y nguyên \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2\\\\y^2=1\end{matrix}\right.=0\)

Thay vào phương trình đầu: 

Với \(y=0\Rightarrow x^2+7x+10=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\\\\\x=-5\end{matrix}\right.\)

Với \(y=1\Rightarrow x^2+9x+19=0\Rightarrow\) không có x nguyên

Với \(y=-1\Rightarrow x^2+5x+5=0\Rightarrow\) không có x nguyên

Ta có: \(2\left(x^2+y^2\right)=1+xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=\frac{1+xy}{2}\)

\(P=7\left(x^4+y^4\right)+4x^2y^2\)

\(=7x^4+7y^4+4x^2y^2\)

\(\Rightarrow P=28x^3+28y^3+16xy\)

\(\Leftrightarrow P=0\Leftrightarrow28x^3+28y^3+16xy=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P_{Min}=15\) và \(Max_P=\frac{12}{33}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0=>x^2+y^2\ge2xy\\\left(x+y\right)^2\ge0=>x^2+y^2\ge-2xy\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x^2+y^2\right)+xy\ge5xy\\2\left(x^2+y^2\right)+xy\ge-3xy\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ge5xy\\1\ge-3xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{3}\le xy\le\dfrac{1}{5}\)

Ta có:

P=\(2\left(x^2+y^2\right)^2-4x^2y^2+2+\left(x^2+y^2+2xy\right)\)

P= \(\dfrac{2\left(1-xy\right)^2}{4}-4\left(xy\right)^2+2+\left(\dfrac{1-xy}{2}+2xy\right)\)

=\(\dfrac{\left(xy\right)^2-2xy+1}{2}-4\left(xy\right)^2+2+\dfrac{3xy}{2}+\dfrac{1}{2}\)

Đặt t = xy => \(-\dfrac{1}{3}\le t\le\dfrac{1}{5}\)

Ta có : 

P= \(\dfrac{-7t^2}{2}+\dfrac{t}{2}+3=-\dfrac{7}{2}\left(t-\dfrac{1}{14}\right)^2+\dfrac{169}{56}\)

Ta có: \(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{14}\le t-\dfrac{1}{14}\le\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{14}\)

<=>\(-\dfrac{17}{42}\le t-\dfrac{1}{14}\le\dfrac{9}{70}\)

=> 0\(\le\left(t-\dfrac{1}{14}\right)^2\le\left(\dfrac{17}{42}\right)^2\)

\(\dfrac{169}{56}\ge P\ge\dfrac{169}{56}-\dfrac{7}{2}\left(\dfrac{17}{42}\right)^2\)

Max P= \(\dfrac{169}{56}\) => t = 1/14 => \(xy=\dfrac{1}{14}\rightarrow x^2+y^2=\dfrac{13}{14}\) => x,y=...

Min P=\(\dfrac{169}{56}-\dfrac{7}{6}\left(\dfrac{17}{42}\right)^2\) <=> \(t=xy=-\dfrac{1}{3}\)

<=> x=-y=\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)