Bài 2:

Dễ dàng chứng minh \(\Delta\)BEC = \(\Delta\)AEH (c.g.c) và \(\Delta\)CDB = \(\Delta\)ADK

Suy ra HA = BC. và KA = BC từ đó suy ra HA = KA (1)

Do ED là đường trung bình tam giác BAK nên ED // AK (2)

Do ED là đường trung bình tam giác HCA nên ED // AH (3)

Từ (2) và (3) theo tiên đề Ơclit suy ra A, H, K thẳng hàng (4)

Từ (1) và (4) suy ra đpcm.

Bài 1:

Hình như hơi dư thừa nhỉ? BHCK là hình bình hành thì hiển nhiên CH//BK rồi mà. Đúng hay sai thì tùy!

Giải

Dễ dàng chứng minh \(\Delta\)BMH = \(\Delta\)CMK (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra ^MBH = ^MCK. Mà hai góc này ở vị trị so le trong nên BH // CK (1) và MH = MK 

Xét \(\Delta\)BMK và \(\Delta\)CMH có:

MH = MK (chứng minh trên)

^BMK = ^HMC

BM = CM (do M là trung điểm BC)

Suy ra  \(\Delta\)BMK = \(\Delta\)CMH (c.g.c)

Suy ra ^MBK = ^MCH. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BK // CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành (đpcm)

Bài 3:

(so với mấy bài kia hình bài này người ra đề cho chẳng đẹp chút nào:(  cộng với kỹ năng vẽ xấu của mình thì nó còn xấu thế :v)

Từ đề bài ta có AD = BC (do ABCD là hình bình hành); BC = BF (do tam giác CBF vuông cân tại B) (chỗ này mình không canh mãi mà nó vẫn ko bằng trên hình vẽ). Do đó AD = BF (cùng bằng BC)

Mặt khác tam giác ABE vuông cân tại B nên AB = AE

Do AD // BC nên ^DAB + ^ABC = 180^o(1)

Mặt khác ta có ^ABC + ^EBF = 360^o - (^ABE + ^CBF) = 180^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^DAB = ^EBF (cùng bù với ^ABC)

Từ đây ta dễ dàng chứng minh được tam giác ADB = tam giác FBE (c.g.c)

Suy ra DB = EF.

b) Chịu

a) Xét tam giác \(AHD\) và tam giác \(AKD\):

\(\widehat{AHD}=\widehat{AKD}\left(=90^o\right)\)

\(AD\) cạnh chung

\(\widehat{HAD}=\widehat{KAD}\) (vì \(AD\) là tia phân giác góc \(A\) của tam giác \(ABC\)) 

Suy ra \(\Delta AHD=\Delta AKD\) (cạnh huyền - góc nhọn) 

\(\Rightarrow AH=AK\).

b) \(\Delta AHD=\Delta AKD\) suy ra \(DH=DK\) suy ra \(D\) thuộc đường trung trực của \(HK\).

\(AH=AK\) suy ra \(A\) thuộc đường trung trực của \(HK\)

suy ra \(AD\) là đường trung trực của \(HK\).

c) Xét tam giác \(AKE\) và tam giác \(AHF\): 

\(\widehat{A}\) chung

\(AH=AK\)

\(\widehat{AHF}=\widehat{AKE}\left(=90^o\right)\)

suy ra \(\Delta AKE=\Delta AHF\) (g.c.g) 

suy ra \(AE=AF\)

Xét tam giác \(AEF\) có: \(\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AK}{AF}\) suy ra \(HK//EF\).

Xét tam giác BHM và tam giác CKM lần lượt vuông tại H và K có:

BM=MC(M là trung điểm BC)

\(\widehat{BMH}=\widehat{CMK}\)(đối đỉnh)

=> ΔBHM=ΔCKM(ch-gn)

=> \(\widehat{HBM}=\widehat{KCM}\)

Mà 2 góc này so le trong

=> BH//CK

Mà BH=CK(ΔBHM=ΔCKM)

=> BHCK là hình bình hành

=> CH//BK

Bài 12:

:v Mình sửa P là trung điểm của EG

a) Ta có: \(\widehat{EAC}=\widehat{EAB}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)

\(\widehat{GAB}=\widehat{GAC}+\widehat{BAC}=90^0+\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{GAB}\)

Xét tam giác EAC và tam giác BAG có:

\(\hept{\begin{cases}EA=AB\\\widehat{EAC}=\widehat{GAB}\left(cmt\right)\\AG=AC\end{cases}}\Rightarrow\Delta EAC=\Delta BAG\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow CE=BG\)( 2 cạnh t. ứng )

+) Gọi O là giao điểm của EC và BG, Gọi I là giao điểm của AC và BG 

Vì \(\Delta EAC=\Delta BAG\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{AGB}\)

Vì tam giác AIG vuông tại A nên \(\widehat{I1}+\widehat{AGB}=90^0\)(2 góc phụ nhau )

Mà \(\widehat{ACE}=\widehat{AGB}\left(cmt\right),\widehat{I1}=\widehat{I2}\)( 2 góc đối đỉnh )

\(\Rightarrow\widehat{I2}+\widehat{ACE}=90^0\)

Xét tam giác OIC có \(\widehat{I2}+\widehat{ACE}+\widehat{IOC}=180^0\left(dl\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IOC}=90^0\)

\(\Rightarrow BG\perp EC\)

b) Vì ABDE là hình vuông (gt)

\(\Rightarrow EB\)cắt AD tại Q là trung điểm của mỗi đường (tc)

Xét tam giác EBC có Q là trung điểm của EB (cmt) , M là trung điểm của BC (gt)

\(\Rightarrow QM\)là đường trung bình của tam giác EBC

\(\Rightarrow QM=\frac{1}{2}EC\left(tc\right)\)

CMTT: \(PN=\frac{1}{2}EC;QP=\frac{1}{2}BG,MN=\frac{1}{2}BG\)

Mà EC=BG (cm câu a )

\(\Rightarrow QM=MN=NP=PQ\)

Xét tứ giác MNPQ  có \(QM=MN=NP=PQ\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MNPQ\)là hình thoi ( dhnb ) (1)

CM: MN//BG , QM//EC ( dựa vào đường trung bình tam giác )

Mà \(BG\perp EC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MN\perp MQ\)

\(\Rightarrow\widehat{QMN}=90^0\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MNPQ\) là hình vuông ( dhnb ) 

\(\)

Bài 11:

a) Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=90^0+90^0=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}=180^0\)

\(\Rightarrow D,A,E\)thẳng hàng

b) Vì AHBD là hình chữ nhật (gt)

\(\Rightarrow AB\)cắt DH tại trung điểm mỗi đường (tc) và AB=DH(tc)

Mà P là trung điểm của AB (gt)

\(\Rightarrow P\)là trung điểm của DH  (1)

\(\Rightarrow PH=\frac{1}{2}DH,PA=\frac{1}{2}AB\)kết hợp với AB=DH (cmt)

\(\Rightarrow PH=PA\)

\(\Rightarrow P\in\)đường trung trục của AH

CMTT Q thuộc đường trung trực của AH

\(\Rightarrow PQ\)là đường trung trực của AH

c)  Từ (1) => P thuộc DH

=> D,P,H thẳng hàng

d) Vì ABCD là hình chữ nhật (gt)

=> DH là đường phân giác của góc BHA (tc) mà góc BHA= 90 độ

=> góc DHA= 45 độ

CMTT AHE =45 độ

=> góc DHA+ góc AHE=90 độ

Hay góc DHE=90 độ

=> DH vuông góc với HE

Bài 7 failed nha bạn bạn xem lại đề 

  a) Các tam giác vuông AEM và ADM có EI và DI là trung tuyến ứng với AM nên 
=> EI = DI ( = ½ AM) 
=> Tam giác EID cân tại I 
Lại có các tam giác AEI và ADI cân tại I nên: 
^EIM = 2^EAI và ^MID = 2^IAD 
=> ^EID = ^EIM + ^MID = 2(^EAI + ^IAD) = 2^EAD = 2. 30 = 60 độ 
(Vì AD là đường cao nên là phan giác ^A) 
Tam giác EID cân lại có ^EID = 60 độ nên đều 
Tương tự tam giác IFD đều nên: EI = IF = FD = DE => Tứ giác DEIF là hình thoi 
b) Gọi O là giao EF và DI và K là trung điểm AH, ta có IK là trng bình tam giác AMH và OH là trung bình tam giác AID. 
=> HO//IK và HM//IK 
=> Tia HO và HM trùng nhau hay M, H, O thẳng hàng => MH, ID, EF đồng quy tại O 

ko biết :)))))