Ta có: 

\(x^2-6x+y^2-10y=27\)

<=> \(x^2-2.y.3+9+y^2-2.y.5+25-9-25=27\)

<=> \(\left(x-3\right)^2+\left(y-5\right)^2=61\)

<=> \(\left(x-3\right)^2+\left(y-5\right)^2=5^2+6^2\)

Do x, y nguyên dương 

=> x-3 >-3; y-5 >-5 

TH1: \(\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^2=5^2\\\left(y-5\right)^2=6^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-3=5\\y-5=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=11\end{cases}}\)(tm)

TH2: \(\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^2=6^2\\\left(y-5\right)^2=5^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-3=6\\y-5=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=9\\y=10\end{cases}}\)(tm)

\(x^2+y^2+4=2xy+4x+4y\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(2y+4\right)x+y^2-4y+4=0\)

Xét phương trình theo nghiệm x.

\(\Rightarrow\Delta'=\left(y+2\right)^2-\left(y^2-4y+4\right)=8y\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y+2-2\sqrt{2y}\\x=y+2+2\sqrt{2y}\end{cases}}\)

Vì x, y nguyên dương nên 

\(\Rightarrow\sqrt{2y}=a\)

\(\Rightarrow y=2n^2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2n^2+2-4n\\x=2n^2+2+4n\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\left(n-1\right)^2\\x=2\left(n+1\right)^2\end{cases}}\)

Vậy \(\frac{y}{2};\frac{x}{2}\)là 2 số chính phương.

\(x^2+y^2+4=2xy+4x+4y\)

<=> \(\left(x^2-4x+4\right)+y^2-2y\left(x-2\right)=8y\)

<=> \(\left(x-y-2\right)^2=8y\)

<=> \(\left(\frac{x-y-2}{4}\right)^2=\frac{y}{2}\)

=> \(\frac{y}{2}\)là số chính phương

CMTT x/2 là số chính phương

=>x^2-4x+4+y^2-6y+9=0

=>(x-2)^2+(y-3)^2=0

=>x=2 và y=3

Ta có: x²+y²+2xy-4x-2y+1=0

      ⇔(x²+y²+2xy-2x-2y+1)-2x=0

      ⇔(x+y-1)²=2x

Mà (x+y-1)² là số chính phương

⇒2x là số chính phương

⇒2x chia 4 dư 0 hoặc 1

Mà 2x là số chẵn 

⇒2x chia hết cho 4

⇒x chia hết cho 2

⇒x là số chẵn(đpcm)

Lại có:(x+y-1)²=2x

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\)=x

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\): 2=x:2

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{2}\). \(\dfrac{1}{2}\) =x:2

⇒\(\dfrac{\left(x+y-1\right)^2}{4}\)=x:2

⇒(\(\dfrac{x+y-1}{2}\))²=x:2  

Mà \(\left(\dfrac{x+y-1}{2}\right)^2\) là số chính phương

⇒x:2 là số chính phương (đpcm)