ta có x^2+y^2*(x-y+1)-(x-1)y=22

<=> x^2-xy+y^2*(x-y+1)+y=22

<=> x^2-xy+x+y^2*(x-y+1)+y-x=22

<=> x(x-y+1)+y^2*(x-y+1)+y-x-1=21

<=> (x+y^2)(x-y+1)-(x-y+1)=21

<=> (x+y^2-1)(x-y+1)=21 (*);

Do y nguyên dương nên (y+2)(y-1) <=> y^2-1>=1-y  => x+y^2-1>=x-y+1. (**)

Do (x+y^2-1) nguyên dương => (x-y+1) cũng nguyên dương

Khi đó từ (*) và (**) => (x+y^2-1)(x-y+1)=7*3=21*1.

TH1: x+y^2-1=7 và x-y+1=3  => x=4; y=2;

TH2: x+y^2-1=21 và x-y+1=1 => Vô nghiệm.

Vậy pt đã cho có 1 nghiệm duy nhất là (4;2).

Mình thấy nó hơi sai sai

Lời giải:

Ta có:\(y^2+2\sqrt{2020}y+2022=(y^2+2\sqrt{2020}y+2020)+2=(y+\sqrt{2020})^2+2\geq 2(1)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x})^2\leq (x-1+3-x)(1+1)=4$

$\Rightarrow \sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\leq 2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\leq 2\leq y^2+2\sqrt{2020}y+2022$

Dấu "=" xảy ra khi mà: \(\left\{\begin{matrix} \frac{x-1}{1}=\frac{3-x}{1}\\ y+\sqrt{2020}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-\sqrt{2020}\end{matrix}\right.\)

Ta có: x,y \(\in\)N => x,y \(\ge\) 0

+) Nếu y = 0  => 15x + 2020.0 = 2019

 => 15x + 0 = 2019

=> 15x = 2019

=> x = 2019/15 (ktm)

+) Nếu x = 0 => 15.0 + 2020y = 2019

=> 2020y = 2019

=> y = 2019/2020 (ktm)

+) Nếu x,y > 0  => 15x + 2020y > 2019 (VT)

Mà VP = 2019

=> VT \(\ne\)VP

=> pt vô nghiệm

Vậy ko có giá trị x,y thõa mãn

cam on

pt tương đương \(\left|y-2020\right|=2^x-y+4039\) (*)

TH1: y\(\ge\)2020

pt (*) trở thành: 2y - 6059 = \(2^x\) (1)

Do 2y chẵn , 6059 lẻ => 2y - 6059 là số lẻ => \(2^x\)lẻ => x=0

Thay x =0 vào (1) tìm được y = 3030 (tm)

TH2: y \(\le\)2020

pt (*) trở thành: 2019= \(-2^x\)

=> Ko có x thỏa mãn

Vậy (x;y) = (0;3030)

2019x²+x=2020y²+y                                                             (1)

=> (x-y)[2019(x+y)+1]=0

Xét 2019(x+y)+1=0=> đpcm

Xét x-y=0=> x=y, thay vào (1) ta được x=y=0

=> 2019(x+y)+1=1=> đpcm