1=2018x+2019y≥(2018+2019)2x+y⇒x+y≥(2018+2019)2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">1=2018x+2019y≥(2018+2019)2x+y⇒x+y≥(2018+2019)2

xy=20182019" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">xy=√20182019

@AZM: Thật không may dấu "=" không xảy ra bạn nhé :))

Ta có:\(S=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)

Đặt \(a=\frac{x^2+y^2}{xy}\ge\frac{2\sqrt{x^2y^2}}{xy}=2\)

Khi đó:\(S=a+\frac{1}{a}=\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{a}\right)+\frac{3a}{4}\ge2\sqrt{\frac{a}{4}\cdot\frac{1}{a}}+\frac{3\cdot2}{4}=\frac{5}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=y

Bài làm:

Ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\ge2\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2\right)}{xy}.\frac{xy}{\left(x^2+y^2\right)}}=2.1=2\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y\)

Vậy GTNN biểu thức là 2 khi \(x=y\)

Học tốt!!!!

Dạ đây là bất đẳng thức Cô-si ạ, bạn có thể chứng minh bằng cách sau:

Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\left(\forall xy\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+4xy\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)^2}\ge\sqrt{4xy}\)

\(\Leftrightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)

Bạn áp dụng bất đẳng thức trên vào bài làm là được ạ!

By Titu's Lemma we easy have:

\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{17}{4}\)

Mk xin b2 nha!

\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)

\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)

\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)

1) có \(2y\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{xy}+\frac{1}{4\sqrt{xy}}\right)^2+\frac{15}{16xy}+\frac{1}{2}\ge\frac{15}{16}\cdot4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)

+)Từ đề bài ta thấy:2020-2019=1

=>(x+2y)-(x+y)=1

=>x+y+y-x-y=1

=>y=1

+)Thay y=1 vào x+y=2019 được:

                        x+1=2019

                  =>x     =2019-1

                     x      =2018

Vậy x=2018\(\in\)N(vì nguyên dương)

Vậy GTNNx=2018

Chúc bn học tốt

\(P=\frac{x^4}{x^2y^2+x^2yz+z^2x^2}+\frac{y^4}{y^2z^2+xzy^2+x^2y^2}+\frac{z^4}{z^2x^2+xyz^2+y^2z^2}\)

ÁP DỤNG BĐT CAUCHY -  SCHWARZ TA ĐƯỢC:

=>   \(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+xyz\left(x+y+z\right)}\)           (1)

TA SẼ CHỨNG MINH:    \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+xyz\left(x+y+z\right)}\ge1\)         (2)

<=>   \(x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+xyz\left(x+y+z\right)\)

<=>   \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)        (*)

TA ÁP DỤNG LIÊN TỤC 2 LẦN DẠNG BĐT SAU:     \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\ge\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma\)

KHI ĐÓ TA SẼ ĐƯỢC:    \(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

VẬY BĐT (*) LÀ LUÔN ĐÚNG.

=> TỪ (1) VÀ (2)    =>    \(P\ge1\)

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(x=y=z\)

VẬY P MIN = 1 <=>    x = y = z .

1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)

 \(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)

max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t

\(A=x^2+y^2=\frac{\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{2}\ge\frac{\left(1.x+1.y\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)A min = 1 khi x =y = 1/2

\(\sqrt{A}=\sqrt{x^2+y^2}\le\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}=x+y=1\)( \(\sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}\))

=> A\(\le1\) => Max A = 1 khi x =0;y =1 hoặc x =1 ; y =0

1/a/
\(A=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{4}{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{x^2+y^2}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}-\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=16-2=14\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

b/

\(4B=\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{8}{xy}+16xy=\left(\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\right)+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)+\frac{5}{xy}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{xy}.16xy}+\frac{5}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)

\(=16+8+20=44\)

\(\Rightarrow B\ge11\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

2/

\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(1+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)