x=1; y=2; z=3

hoặc x=-1; y=-2; z=-3

+Xét \(x=y=z=0\)

+ Xét trong x;y;z có 1 số bằng 0

+ Xét \(x;y;z\ne0\)

Giả sử \(0< x\le y\le z\)

\(x+y+z=xyz\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\le\frac{3}{x^2}\)

\(\Rightarrow x^2\le3\)

\(\Rightarrow x=1\)

Thay x=1 ta được:

\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{yz}\le\frac{3}{y}\)

\(\Rightarrow y\le3\)

\(\Rightarrow y\in\left\{1;2;3\right\}\)

Bạn tự giải tiếp nhé

Giả sử 1<=x<=y<=z

=> xyz<=x+y+z

=>xyz<=z+z+z

=>xyz<=3z

=>xy\(\in\){1;2;3}

+)xy=1 => x=y=1  =>1+1+z=z   (vô lí)

+)  xy=2   =>  (x;y)=(1;2) ; (2;1)

Mà x<=y

=>(x;y)=(1;2)

Mà  xy<=3

=>z=3  (t/m)

+) xy=3  =>  (x;y)=(1;3);(3;1)

Mà x<=y

=>(x;y)=(1;3)

=>z=3   (vô lí)

Vậy x=1;  y=2 ; z=3

Ta có:  A = \(\left|2x-2\right|+\left|2x-2013\right|\)

=> A = \(\left|2x-2\right|+\left|2013-2x\right|\)\(\ge\)\(\left|2x-2+2013-2x\right|=\left|2011\right|=2011\)

=> A \(\ge\)2011

Dấu "=" xảy ra <=> (2x - 2)(2013 - 2x) \(=\)0

         => \(2\left(x-1\right)\left(2013-2x\right)=0\)

     => \(\left(x-1\right)\left(2013-2x\right)=0\)

   =>  \(1\le x\le\frac{2013}{2}\)

Vậy A_min = 2011 <=> \(1\le x\le\frac{2013}{2}\)

A = |2x - 2| + |2x - 2013| = |2x - 2| + |2013 - 2x| ≥ |2x - 2 + 2013 - 2x| = |2011| = 2011

Dấu "=" xảy ra <=> (2x - 2)(2013 - 2x) ≥ 0

<=> (2x - 2)(2x - 2013) ≤ 0

<=> 1 ≤ x ≤ 2013/2

Mà x là số nguyên ....

Vậy A_{min = 2011} tại 1 ≤ x ≤ 2013/2

                                                           Bài giải

Ta có : \(A=\left|2x-2\right|+\left|2x-2013\right|=\left|2x-2\right|+\left|2013-2x\right|\ge\left|2x-2+2013-2x\right|=2011\)

                  Dấu "=" xảy ra khi \(\left(2x-2\right)\left(2013-2x\right)\ge0\text{ }\Leftrightarrow\text{ }1\le x\le\frac{2013}{2}\)

\(KL\text{ : }....................\)

Vai trò của \(x;y;z;t\)như nhau nên ta coi \(x\ge y\ge z\ge t\)

\(\Rightarrow2xyzt=5\left(x+y+z+t\right)+15\le20x+15\)

\(\Rightarrow xyzt\le10x+3\)

\(x\ge1\)( nguyên dương )

\(\Rightarrow yzt\le13\)

\(\Rightarrow3t\le13\)

\(\Rightarrow t\le4\)

\(2xyz.1=5\left(x+y+z+1\right)+15\)

\(2xyz=5\left(x+y+z\right)+20\le15x+20\)

\(\Rightarrow2yz\le35\)

\(\Rightarrow2.2z\le35\left(y\ge z\right)\)

\(\Rightarrow z\le8\)

Thôi nhiều trường hợp lắm bà tự giải theo hướng đó nhé. Tớ còn chưa học phương trình.

Lâu r ko làm thử bài pt nghiệm nguyên nào

\(5\left(x+y+z+t\right)+15=2xyzt\left(1\right)\)

Không mất tính tổng quát,giả sử \(1\le x\le y\le z\le t\)

Dễ thấy cả 2 vế đều khác 0,chia 2 vế của pt cho xyzt:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{5}{xyz}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{yzt}+\frac{15}{xyzt}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{5}{xyz}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{yzt}+\frac{15}{xyzt}\le\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{15}{x^3}=\frac{35}{x^3}\)

\(\Leftrightarrow2\le\frac{35}{x^3}\Leftrightarrow2x^3\le35\Leftrightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)

(*)x=1

\(=>2=\frac{5}{yz}+\frac{5}{zt}+\frac{5}{yt}+\frac{5}{yzt}+\frac{15}{yzt}\le\frac{35}{y^2}\)

\(=>2\le\frac{35}{y^2}=>2y^2\le35=>y^2\le\frac{35}{2}=>y\in\left\{1;2;3;4\right\}\)

+x=1;y=1 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+25=2zt< =>5z+5t+25=2zt\)

\(< =>4zt=2\left(5z+5t+25\right)=10z+10t+50\)

\(< =>4zt-10z-10t-50=0< =>4zt-10z-10t+25=75\)

\(< =>2z\left(2t-5\right)-5\left(2t-5\right)=75< =>\left(2z-5\right)\left(2t-5\right)=75\)

Vì \(1\le z\le t=>-3\le2z-5\le2t-5\)

\(=>\left(2z-5\right)\left(2t-5\right)=75=75.1=25.3=15.5\)

Ta xét bảng:

Suy ra :(z;t)=(3;40);(4;15);(5;10)

+x=1;y=2 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+30=4zt< =>5z+5t+30=4zt\)

\(< =>16zt=4\left(5z+5t+30\right)< =>16zt=20z+20t+120\)

\(< =>16zt-20z-20t-140=0< =>16zt-20z-20t+25=145\)

\(< =>\left(4z-5\right)\left(4t-5\right)=145\)

Xét bảng.... => ko tìm đc (z;t)=>loại TH này

+x=1;y=3 thì  \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+35=6zt< =>5z+5t+35=6zt\)

\(< =>36zt=6\left(5z+5t+35\right)< =>36zt=30z+30t+210\)

\(< =>36zt-30z-30t-210=0< =>36zt-30z-30t+25=135\)

\(< =>\left(6z-5\right)\left(6t-5\right)=235\)

Xét bảng=> ko tìm đc (z;t)=>loại TH này

+x=1;y=4 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+40=8zt< =>5z+5t+40=8zt\)

\(< =>6zt=8\left(5z+5t+40\right)=40z+40t+320\)

\(< =>6zt-40z-40t-320=0< =>6zt-40z-40t+25=345\)

\(< =>\left(8z-5\right)\left(8t-5\right)=345\)

Xét bảng=>ko tìm đc (z;t)=>loại TH này

(*)x=2 thì \(\left(1\right)< =>5\left(y+z+t\right)+25=4yzt\),chia 2 vế của pt cho yzt:

\(< =>\frac{5}{zt}+\frac{5}{yt}+\frac{5}{yz}+\frac{25}{yzt}=4\le\frac{40}{y^2}< =>4y^2\le40< =>4\le y^2\le10\)

\(< =>y\in\left\{2;3\right\}\)

+x=2;y=2 thí \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+35=8zt< =>5z+5t+35=8zt\)

\(< =>64zt=8\left(5z+5t+35\right)=40z+40t+280\)

\(< =>64zt-40z-40t-280=0< =>64zt-40z-40t+25=305\)

\(< =>\left(8z-5\right)\left(8t-5\right)=305\)

Xét bảng=>ko tìm đc (z;t)=>loại TH này

+x=2;y=3 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+40=12zt< =>5z+5t+40=12zt\)

\(< =>144zt=60z+60t+480\)

\(< =>144zt-60z-60t-480=0< =>144zt-60z-60t+25=505\)

Xét bảng=>ko tìm đc (z;t)=>loại TH này

Vậy pt (1) có các nghiệm (x;y;z;t) nguyên dương là (1;1;3;40);(1;1;5;10);(1;1;4;15) và các hoán vị của nó

Đặt: \(A=5\left(x+y+z+t\right)+15=2xyzt\) 

Giả sử: \(x\le y\le z\le t\)

\(A\Leftrightarrow\frac{5}{yzt}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{xyt}+\frac{15}{xyzt}=2\le\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{15}{x^3}=\frac{35}{x^3}\) 

Hay \(2x^3\le35\Rightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)

TH1: \(x=1\) Ta có: \(\frac{5}{yzt}+\frac{5}{zt}+\frac{5}{yt}+\frac{5}{yz}+\frac{15}{yzt}=2\le\frac{35}{x^3}\)

\(\Rightarrow2y^2\le35\Rightarrow y\in\left\{1;2;3;4\right\}\)

+ Nếu \(x=1;y=1\)

\(A\Leftrightarrow5\left(2+z+t\right)+15=2zt\)

 \(\Leftrightarrow2\left(zt\right)+25=2zt\)

\(\Leftrightarrow5z+5t-2zt+25=0\)

\(\Leftrightarrow10z+10t-4zt+50=0\)

\(\Leftrightarrow10z-25+2t\left(5-2z\right)+75=0\)

\(\Leftrightarrow-5\left(5-2z\right)+2t.\left(5-2z\right)=-75\)

\(\Leftrightarrow\left(2t-5\right)\left(2z-5\right)=75=1.75=3.25=5.15\)

Có: \(-3\le2z-5\le2t-5\)

\(\Rightarrow\left(z;t\right)=\left(3;40\right),\left(4;15\right),\left(5;10\right)\)

+ Nếu \(x=1;y=2\)
\(A\Leftrightarrow5\left(3+z+t\right)+15=6zt\)

\(\Leftrightarrow5\left(z+t\right)+30=6zt\)

\(\Leftrightarrow\left(4z-5\right)\left(4t-5\right)=145\)

Vì \(4z-5\) và \(4t-5\) chia 4 dư 3 mà 145 không chứa thừa số chia 4 dư 3 suy ra phương trình vô nghiệm

Nếu \(x=1;y=3\Leftrightarrow\left(6z-5\right)\left(6t-5\right)=235\) 

Có \(13\le6z-5\le6t-5\) mà \(235=5.47=1.235\) 

=> phương trình cũng vô nghiệm

Xét \(x=1;y=4\)

\(\Rightarrow\left(8z-5\right)\left(8t-5\right)=345\)

=> phương trình vô nghiệm

TH2: \(x=2\)

\(A\Leftrightarrow5\left(2+y+z+t\right)+15=4yzt\)

\(\Leftrightarrow\frac{5}{zt}+\frac{5}{yt}+\frac{5}{yz}+\frac{25}{yzt}=4\le\frac{40}{y^2}\Rightarrow y\in\left\{2;3\right\}\)

Nếu \(x=2;y=2\)

Ta có: \(5\left(4+z+t\right)+15=8zt\) 

\(\Leftrightarrow5\left(z+t\right)+35=8zt\)

\(\Leftrightarrow\left(8z-5\right)\left(8t-5\right)=305\).

=> phương trình vô nghiệm

Xét \(x=3;y=3\)

\(\Rightarrow\left(12z-5\right)\left(12t-5\right)=505\)

=> phương trình vô nghiệm

Kết luận:.......

Kushito Kamigaya tham khảo nhé:

x² + (x+y)² = (x+9)² 
<=> (x+y)² = (x+9)² - x² 
<=> (x+y)² = 9(2x+9) (*) 
Vì: 9 = 3² nên từ (*) ta thấy (2x+9) phải là số chính phương 
=> 2x+9 = n² => 2x = (n-3)(n+3) => x = (n-3)(n+3)/2 
n-3 và n+3 cùng chẳn hoặc cùng lẽ, nên x nguyên dương khi n là số lẽ lớn hơn 3 
đặt n = 2k+1 với k > 1, (k nguyên) 
có: 2x + 9 = (2k+1)² = 4k²+4k+1 
=> x = 2k²+2k-4, thay x vào (*) 

(x+y)² = 9(2k+1)² => x+y = 3(2k+1) = 6k+3 => y = 6k+3-x 
=> y = 6k + 3 - 2k² - 2k + 4 = -2k² + 4k + 7 > 0 
=> k² - 2k < 7/2 => (k-1)² < 7/2+1 = 9/2 
=> k-1 < 3/√2 => k - 1 ≤ 2 => k ≤ 3 
với đk k > 1 ở trên ta chỉ chọn được k = 2 hoặc k = 3 

*k = 2 => x = 8, y = 7 

*k = 3 => x = 20, y = 1

Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).