Nhận xét: với mọi n nguyên thì \(n^2\equiv\left\{0;1;2;4\right\}\left(mod7\right)\)

Giả sử a;b tồn tại 1 số không chia hết cho 7

\(\Rightarrow a^2+b^2\equiv\left\{1;2;3;4;5;6;8\right\}\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\) luôn ko chia hết cho 7 (trái với giả thiết)

Vậy điều giả sử là sai hay \(a;b\) đều chia hết cho 7

ap dung bdt am gm

\(\sqrt{1+8a^3}=\sqrt{\left(1+2a\right)\left(4a^2-4a+1\right)}\)\(\le\frac{1+2a+4a^2-2a+1}{2}=\frac{4a^2+2}{2}=2a^2+1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}\ge\frac{1}{2a^2+1}\)

tuongtu ta cung co \(\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}\ge\frac{1}{2b^2+1};\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\ge\frac{1}{2c^2+1}\)

\(\Rightarrow\)VT\(\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\)

tiep tuc ap dung bat cauchy-schwarz dang engel ta co

\(VT\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}=\frac{3^2}{6+3}=1\)(dpcm)

dau = xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Bài toán này dựa trên bài toán mà bạn đã đăng hôm trước: nếu \(m^2+n^2\) chia hết cho 7 thì cả m và n đều chia hết cho 7.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}5a+2b=m^2\\2a+5b=n^2\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow7\left(a+b\right)=m^2+n^2\)

\(\Rightarrow m^2+n^2⋮7\)

\(\Rightarrow m;n\) đều chia hết cho 7

\(\Rightarrow m^2;n^2\) đều chia hết cho 49

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+2b⋮49\\2a+5b⋮49\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(a-b\right)⋮49\\7\left(a+b\right)⋮49\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b⋮7\\a+b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a⋮7\\2b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a⋮7\\b⋮7\end{matrix}\right.\) (đpcm)

Ta có \(a^4+ab^3=2a^3b^2\)

Do a>0

=> \(a^3+b^3=2a^2b^2\)

<=> \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}=2\)

Đặt \(\frac{a}{b^2}=x;\frac{b}{a^2}=y\)(x,y là số hữu tỉ)

=>\(\hept{\begin{cases}x+y=2\\x.y=\frac{1}{ab}\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=2-y\\xy=\frac{1}{ab}\end{cases}}\)

=> \(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}=\sqrt{1-y\left(2-y\right)}=\sqrt{y^2-2y+1}=|y-1|\)là số hữu tỉ

=> ĐPCM

Vậy \(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}\)là số hữu tỉ

a) A = 2n +1 => A là số lẻ \(\Rightarrow⋮̸\)( không chia hết ) 2

b) A có thể chia hết cho 5 , A có thể không chia hết cho 5

Ghi giải ra luôn bạn!