giả sửA=aaaaaa là một số đều chia hết cho 11

A=a.10⁵+a.10⁴+a.10³+a.10²+a.10+a

A=a.(10⁵+10⁴+10³+10²+10+1)

A=a.111111=3a.37037

nên số a phải chia hết cho 111111

=>111111,222222,333333,444444,555555,666666,777777,888888,999999  chia hết cho 37037

Gọi số đó là \(\overline{aaaaaa}\)

*) Tổng các chữ số của số trên là 6a ⋮ 3

\(\Rightarrow\overline{aaaaaa}⋮3\) (1)

*) \(\overline{aaaaaa}\)

\(=a.100000+a.10000+a.1000+a.100+a.10+a\)

\(=a\left(100000+10000+1000+100+10+1\right)\)

\(=a.111111⋮11\)

=> \(\overline{aaaaaa}⋮11\) (2)

Lại có: 11 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau (3)

Từ (1); (2); (3) => \(\overline{aaaaaa}⋮33\)

 oho

Gọi số có 6 chữ số giống nhau là aaaaaa

Ta có: aaaaaa = 111111 . a = 37037 . 3 . a chia hết cho 37037

Chứng tỏ 1 số có 6 chữ số giống nhau chia hết cho 37037

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰² ( có 2003 số, 2003 : 3 dư 2)

A = 1 + 2 + (2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷) + ... + (2²⁰⁰⁰ + 2²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰²)

A = 3 + 2².(1 + 2 + 2²) + 2⁵.(1 + 2 + 2²) + ... + 2²⁰⁰⁰.(1 + 2 + 2²)

A = 3 + 2².7 + 2⁵.7 + ... + 2²⁰⁰⁰.7

A = 3 + 7.(2² + 2⁵ + 2²⁰⁰⁰)

Vì 7.(2² + 2⁵ + ... + 2²⁰⁰⁰) chia hết cho 7, 3 chia 7 dư 3

=> A chia 7 dư 3

666666

đúng r

666666

                                                         Giải

                    Ta có: 18= 2x9 

                    Vậy số đó phải là số chẵn và có tổng số chữ số chia hết cho 9

                   Trong trường hợp này ta có 4 số: 222222; 444444; 666666; 888888

                   Mà số có tổng số chữ số chia hết cho 9 là số 666666 nên số đó là số 666666

                                                                                          Đáp số: 666666

888888

888888

LIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIKKKKKKKKKKKEEEEE

Đặt A = 111....1 (27 chữ số 1 )

Ta có: A = 111..100..0 (9 chữ số 1 và  18 chữ số 0  ) + 111..100..0 (9 chữ số 1 và 9 chữ số  0 ) + 111...11 (9 chữ số 1 )

= 11..1 x 10¹⁸  + 11...1 x 10⁹  + 111..1 = 11...1 x (10¹⁸  + 10⁹  + 1)

Vì 111...1 (9 chữ số 1) => tổng các chữ số = 9 chia hết cho 9 nên 111...1 chia hết cho 9

(1018  + 109  + 1) có tổng các chữ số bằng 3 nên chia hết cho 3 

=> A = 9k. 3.k' = 27.k.k' => A chia hết cho 27

tham khảo

Vì các số có tổng các chữ số chia hết cho 27 thì số đó chia hết cho 27

Gỉa sử: aaaaaaa...a (27 lần a) = a x 27 chia hết cho 27

Đặt A = 111....1 (27 chữ số 1 )
Ta có: A = 111..100..0 (9 chữ số 1 và  18 chữ số 0  ) + 111..100..0 (9 chữ số 1 và 9 chữ số  0 ) + 111...11 (9 chữ số 1 )
= 11..1 x 10¹⁸ + 11...1 x 10⁹+ 111..1 = 11...1 x (10¹⁸ + 10⁹ + 1)
Vì 111...1 (9 chữ số 1) => tổng các chữ số = 9 chia hết cho 9 nên 111...1 chia hết cho 9
(10¹⁸+ 10⁹+ 1) có tổng các chữ số bằng 3 nên chia hết cho 3 
=> A = 9k. 3.k' = 27.k.k' => A chia hết cho 27

Vì các số có tổng các chữ số của nó chia hết cho 27 thì chia hết cho 27

Ta có : aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa \(⋮\)27

Vì a x 27 thì \(⋮\)27

Theo mình là: số được viết bởi 27 chữ số giống nhau có tổng là 27.x chia hết cho 3và 9 nên sẽ chia hết cho 3.9=27

Gọi số cần tìm là aa....aa(27 chữ số a giống nhau) (a thuộc N*)

Ta có:

aaa...a = aaa . 111...1 ( 9 chữ số 1)

            = a . 111 . 1111....1 (9 chữ số 1)

            = a. 3 . 37 . 9. 12345679

            = a. 27 . 37 . 12345679 chia hết cho 27

Vậy số viế bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27