Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và điểm M bất kì thuộc đường tròn (M ≠ A, B) . Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BM ở N. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AN ở D.
a) Chứng minh: 4 điểm A, D, M , O cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh: OD // BM và suy ra D là trung điểm của AN
c) Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BM cắt tia DM ở E. Chứng minh: BE là tiếp tuyến của đường tròn (O ; R)
d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng BM tại I. Gọi giao điểm của AI và BD là J. Khi điểm M di động trên (O ; R) thì J chạy trên đường nào?
\(\text{a) Xét tứ giác ADMO có:}\)
∠DMO =90o (do M là tiếp tuyến của (O))
∠DAO =90o (do AD là tiếp tuyến của (O))
=> ∠DMO + ∠DAO = 180o
=> Tứ giác ADMO là tứ giác nội tiếp.
\(\text{b) Do D là giao điểm của 2 tiếp tuyến DM và DA nên OD là tia phân giác của ∠AOM}\)
=>(AOD = \(\frac{1}{2}\)∠AOM
Mặt khác ta có (ABM là góc nội tiếp chắn cung AM
=> ∠ABM = \(\frac{1}{2}\)∠AOM
=> ∠AOD = ∠ABM
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> OD // BM
Xét tam giác ABN có:
OM// BM; O là trung điểm của AB
=> D là trung điểm của AN
c) Ta có: ΔOBM cân tại O ;OE ⊥MB =>OE là đường trung trực của MB
=>EM = EB => ΔMEB cân tại E => ∠EMB = ∠MEB (1)
ΔOBM cân tại O => ∠OMB = ∠OBM (2)
Cộng (1) và (2) vế với vế, ta được:
∠EMB + ∠OMB = ∠MEB + ∠OBM ⇔ ∠EMO =∠EOB ⇔ ∠EOB =90o
=>OB ⊥ BE
Vậy BE là tiếp tuyến của (O).
d) Lấy điểm E trên tia OA sao cho OE = \(\frac{OA}{3}\)
Xét tam giác OAI có OI vừa là đường cao vừa là trung tuyến
=> Tam giác OAI cân tại I => IA = IB; ∠IBA = ∠IAB
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{IBA}=\widehat{IAB}\\\widehat{IBA}+\widehat{INA}=90^0\\\widehat{NAI}+\widehat{IAB}=\widehat{NAB}=90^0\end{cases}}\)
=> ∠NAI = ∠INA => ΔINA cân tại I => IA = IN
Tam giác NAB vuông tại A có: IA = IN = IB
=> IA là trung tuyến của tam giác NAB
Xét ΔBNA có:
IA và BD là trung tuyến; IA ∩ BD = {J}
=> J là trọng tâm của tam giác BNA
Xét tam giác AIO có:
\(\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{AE}{A0}=\frac{2}{3}\Rightarrow\text{JE}\text{//}OI\)
=> J nằm trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng bằng R/3.
Phần đảo: Lấy điểm J' bất kì thuộc đường thẳng d
Do d// OI (cùng vuông góc AB) nên ta có:
\(\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{AE}{A0}\)
\(\text{MÀ}\frac{AE}{AO}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{\text{AJ}}{AI}=\frac{2}{3}\)
AI là trung tuyến của tam giác NAB
=> J' là trọng tâm tam giác NAB
Vậy khi M di chuyển trên (O) thì J di chuyển trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng là R/3.
HÌNH Ở TRONG THỐNG KÊ HỎI ĐÁP NHA
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm M bất kì thuộc đường tròn (M khác A và B). Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BM ở N. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AN ở D.
a.Chứng minh 4 điểm A, D, M, O cùng thuộc một đường tròn
b. Chứng minh OD song song với BM và suy ra D là trung điểm của AN
c. Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BM cắt tia DM ở E. Chứng minh BE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng BM tại I. Gọi giao điểm của AI và BD là J. Khi điểm M di động trên đường tròn (O; R) thì J chạy trên đường nào?
1. cho tam giác ABC.Tia Ax nằm khác phía với AC đối với đường thẳng AB thỏa mãn góc xAB bằng góc ACB.chứng minh Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2.cho nửa đường tròn (O) đường kính AB trên đoạn AB lấy điểm M,gọi H là trung điểm của AM.đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt (O) tại C .đường tròn đường kính MB cắt BC tại I. CM HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MB
3.cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C thuộc nửa đường tròn.vẽ CH vuông góc với AB(H thuộc AB),M là trung điểm CH,BM cắt tiếp tuyến Ax của O tại P .chứng minh PC là tiếp tuyến của (O)
4.cho đường tròn O đường kính AB, M là một điểm trên OB.đường thẳng qua M vuông góc với AB tại M cắt O tại C và D. AC cắt BD tại P,AD cắt BC tại Q,AB cắt PQ tai I chứng minh IC,ID là tiếp tuyến của (O)
5.cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC (AB<AC).T là một điểm thuộc OC.đường thẳng qua T vuông góc với BC cắt AC tại H và cắt tiếp tuyến tại A của O tại P.BH cắt (O) tại D. chứng minh PD là tiếp tuyến của O
6.cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O. phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại M chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
đường kính AB và điểm M bất kì thuộc đường tròn (M khác A và B). Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BM ở N. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AN ở D.
a.Chứng minh 4 điểm A, D, M, O cùng thuộc một đường tròn
b. Chứng minh OD song song với BM và suy ra D là trung điểm của AN
c. Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BM cắt tia DM ở E. Chứng minh BE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng BM tại I. Gọi giao điểm của AI và BD là J. Khi điểm M di động trên đường tròn (O; R) thì J chạy trên đường nào?
Cho đường tròn tâm O bán kính BC.Lấy điểm A thuộc đường tròn ,trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB chứa A vẽ tiếp tuyến Bx cắt CA tại D.Từ D kẻ tiếp tuyến DE với E là tiếp điểm. Gọi I là giap điểm của OD và BE.a) cho F là trung điểm của BD chứng minh FA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O,b) Chứng minh rằng góc DEA = góc DCE,c) KẺ EH vuông góc với BC tại H cắt AC tại G.Chứng minh IG//BC
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại D. Gọi E là trung điểm của AD.
b) Chứng minh EO vuông góc với AC tại trung điểm I của AC.
b) EA và EC là 2 tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại E
⇒ EA = EC
Lại có: OA = OC
⇒ OE là đường trung trực của đoạn AC hay OE vuông góc với AC tại trung điểm I của AC
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi d và d' là các tiếp tuyến tại A và B. Lấy C bất kì thuộc d, đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt d' tại D. AD cắt BC tại N.
a, Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm M
b, Tìm vị trí C trên d sao cho (AC + BD) đạt giá trị nhỏ nhất
c, Biết AB = 4a, tính giá trị của AC.BD và 1 O C 2 + 1 O D 2 theo a
d, Chứng minh MN vuông góc với AB và N là trung điểm của MH với H là giao điểm của MN và AB
a, Kẻ OM ⊥ CD
Gọi K = OD ∩ d => ∆COK = ∆COD
=> OK = OD => OM = OA = R => CD là tiếp tuyến
b, AC+BD=CM+DM=CD ≥ AB
Do đó min (AC+BD)=AB
<=> CD//AB => ABCD là hình chữ nhật <=> AC = AO
c, AC.BD = MC.MD = O M 2 = 4 a 2
=> 1 O C 2 + 1 O D 2 = 1 4 a 2
d, Từ tính chất hai giao tuyến => MN//BD => MNAB hay MHAB;
AC//BD; MN//BD; NH//BD
=> M N B D = N H B D => MN = NH
Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy C thuộc (O) tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D, gọi M là trung điểm của AD
a) Chứng minh: MC là tiếp tuyến của (O)
b)Chứng minh: MO vuông góc AC tại trung điểm I của AC
b: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp đường tròn
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Xét ΔABD có
O là trung điểm của AB
M là trung điểm của AD
Do đó: OM là đường trung bình của ΔABD
Suy ra: OM//BD
hay OM\(\perp\)AC
