a) Ta có n³ - n + 4 

= n(n² - 1) + 4

= (n - 1)n(n + 1) + 4 

Vì (n - )n(n + 1) \(⋮3\)(tích 3 số nguyên liên tiếp) 

mà 4 \(⋮̸\)3 

=> n³ - n + 4 không chia hết cho 3

a, \(n^2+7n+22=n^2+7n+10+12=n^2+2n+5n+10+12\)

\(=\left(n+2\right)\left(n+5\right)+12\)

Do hiệu của \(n+5\) và \(n+2\) là 3 nên \(n+5\) nên chúng cùng chia hết hoặc ko cùng chia hết cho 3

- Nếu n + 5 và n + 2 cùng chia hết cho 3 thì \(\left(n+5\right)\left(n+2\right)⋮9\) nhưng 12 ko chia hết cho 9 \(\Rightarrowđpcm\)

Nếu n + 5 và n + 2 ko cùng chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(n+2\right)\left(n+5\right)\) ko chia hết cho 3 trong khi đó 12 chia hết cho 3 thì \(\left(n+2\right)\left(n+5\right)+12\)ko chia hết cho 3 \(\Rightarrowđpcm\)

b, tương tự nha bn

a)Nếu n=2k(kEN)

thì n²+n+1=4k^2+2k+1(ko chia hết cho 2, vì 1 ko chia hết cho 2)

Nếu n=2k+1(kEN)

thì n²+n+1=n(n+1)+1=(2k+1)(2k+1+1)+1=(2k+1)(2k+2)+1=(2k)(2k+2)+2k+2+1=4k^2+4k+2k+2+1=4k^2+6k+3(ko chia hết cho 2 vì 3 ko chia hết cho 2)

Vậy với mọi nEN thì n²+n+1 ko chia hết cho 2

b)n(n+1)(5n+1)=(n²+n)(5n+1)=5n³+n²+5n²+n

Nếu n=2k(kEN )

thì n(n+1)(5n+1)=10k³+2k²+10k²+2k(chia hết cho 2)

Nếu n=2k+1(kEN)

thì n(n+1)(5n+1)=5(2k+1)³+(2k+1)+5(2k+1)²+2k+1=...................................

tương tự, n=3k;3k+1;3k+2

mỏi tay chết đi được, mấy con số còn bay đi lung tung

Ta có:

\(n^2+3n+11\) 

\(=n^2+3n+18-7\)

\(=\left(n+2\right)\left(n+9\right)-7\)

Giả sử: \(n^2+3n+11\) ⋮ 49 \(\Rightarrow n^2+3n+11\) ⋮ 7

Mà: \(\left(n+9\right)-\left(n+2\right)\) ⋮ 7

Đồng thời ta có: \(\left(n+9\right)\left(n+2\right)\) ⋮ 49 ngược lại 7 \(⋮̸\)49 

Nên điểu giả sử là sai \(\Rightarrow n^2+3n+11⋮̸49\left(dpcm\right)\) 

a) Ta có: \(n^2+7n+22=\left(n+2\right)\left(n+5\right)+12\)

*) Nếu \(n+2⋮3\)thì \(\left(n+2\right)+3⋮3\)hay \(n+5⋮3\)

\(\Rightarrow\left(n+2\right)\left(n+5\right)⋮9\)

Mà 12 không chia hết cho 9 nên \(\left(n+2\right)\left(n+5\right)+12\)không chia hết cho 9

*) Nếu n + 2 không chia hết cho 3 thì n + 5 không chia hết cho 3 suy ra \(\left(n+2\right)\left(n+5\right)\)không chia hết cho 3

Mà 12 chia hết cho 3 nên \(\left(n+2\right)\left(n+5\right)+12\)không chia hết cho 3 nên không chia hết cho 9

Vậy \(n^2+7n+22\)không chia hết cho 9 (đpcm)

b) \(n^2-5n-49=\left(n+4\right)\left(n-9\right)-13\)

*) Nếu \(n+4⋮13\)thì \(\left(n+4\right)-13⋮13\)hay \(n-9⋮13\)

\(\Rightarrow\left(n+4\right)\left(n-9\right)⋮169\)

Mà 13 không chia hết cho 169 nên \(\left(n+4\right)\left(n-9\right)-13\)không chia hết cho 169

*) Nếu n + 4 không chia hết cho 13 thì n - 9 không chia hết cho 13 suy ra \(\left(n+4\right)\left(n-9\right)\)không chia hết cho 13

Mà 13 chia hết cho 13 nên \(\left(n+4\right)\left(n-9\right)-13\)không chia hết cho 13 nên không chia hết cho 169

Vậy \(n^2-5n-49\)không chia hết cho 169 (đpcm)

a) G/s phản chứng \(n^2+7n+22⋮9\)

=> \(n^2+4n+4+\left(3n+18\right)⋮9\)

=> \(\left(n+2\right)^2+3\left(n+6\right)⋮9\)

=> \(\left(n+2\right)^2+3\left(n+6\right)⋮3\)

=> \(\left(n+2\right)^2⋮3\)

=> \(\left(n+2\right)^2⋮9\)

Mà: \(\left(n+2\right)^2+\left(3n+18\right)⋮9\) 

=> \(3n⋮9\)

=> \(n⋮3\)

Nhưng khi đó thì: \(n^2+7n⋮3\)nhg 22 ko chia hết cho 3

=> \(n^2+7n+22\)không chia hết cho 3 => Ko thể chia hết cho 9

=> Điều giả sử là sai

=> TA CÓ ĐPCM

b) Ta ttu g/s phản chứng \(n^2-5n-49⋮169\)

=> \(\left(n+4\right)^2-13n-65⋮13\)     (1)

Dễ thấy \(13n+65=13\left(n+5\right)⋮13\)

=> \(\left(n+4\right)^2⋮13\)

=> \(\left(n+4\right)^2⋮169\)(2)

TỪ (1) VÀ (2) THÌ: \(13\left(n+5\right)⋮169\)

=> \(n+5⋮13\)

=> \(n^2-25⋮13\)(3)

Và cx => \(5n+25⋮13\)(4)

(3); (4) => \(n^2-5n-50⋮13\)

=> \(n^2-5n-49-1⋮13\)

Mà: \(n^2-5n-49⋮13\)

=> \(1⋮13\)

NHG ĐÂY LÀ 1 ĐIỀU VÔ LÍ

=> ĐIỀU GIẢ SỬ LÀ SAI

=> TA CÓ ĐPCM.