\(Q=\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(2\sqrt{b}-5\right)\left(2\sqrt{c}-5\right)\left(2\sqrt{a}-5\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(\frac{2}{\sqrt{b}}-\frac{5}{b}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{c}}-\frac{5}{c}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{a}}-\frac{5}{a}\right)}}\)

xét \(\left(\frac{2}{\sqrt{a}}-\frac{5}{a}\right)=-\left(\left(\sqrt{\frac{5}{a}}\right)^2-2.\sqrt{\frac{5}{a}}.\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{5}=-\left(\sqrt{\frac{5}{a}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2+\frac{1}{5}\le\frac{1}{5}\)

\(\Rightarrow Q\ge3.\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{1}{5}.\frac{1}{5}.\frac{1}{5}}}=3.5=15\)

\(Q_{Min}=15\Leftrightarrow a=b=c=25\)

\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}=\dfrac{2}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(4+\dfrac{1}{4}\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b+c}\right)}\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(2a+\dfrac{1}{2\sqrt{b+c}}\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+a}}\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{9}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}\right)\)

Mặt khác:

\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{3\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\sqrt{6\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{9}{\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{8}\left(a+b+c\right)+\dfrac{a+b+c}{8}+\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}+\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{8}.6+3\sqrt[3]{\dfrac{81\left(a+b+c\right)}{32.6.\left(a+b+c\right)}}\right)=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

- Áp dụng bđt cộng mẫu 

Cho \(x_1;x_2;x_3\in R \)

                                          \(\hept{\begin{cases}\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{y_1+y_2}\left(1\right)\\\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{\left(y_1+y_2+y_3\right)}\left(2\right)\end{cases}}\)

và \(y_1;y_2;y_3\in R\)

CM : +) \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(y_1+y_2\right)\left(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\right)\ge\left(x_1+x_2\right)^2\)

                      \(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+\frac{y_2}{y_1}x_1^2+\frac{y_1}{y_2}x_2^2\ge x_1^2+x_2^2+2x_1x_2\)

                      \(\Leftrightarrow\frac{y_2}{y_1}x_1^2+\frac{y_1}{y_2}x_2^2\ge2x_1x_2\)( đúng do Cauchy )

+) Để CM (2) , ta áp dụng liên tiếp 2 lần (1)

                (1)                                        (2)

\(VT\left(2\right)\ge\frac{\left(x_1+x_1\right)^2}{y_1+y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\)

+) Với cách này ra có thể cm bđt " cộng mẫu " tổng quát sau :

\(\frac{x_1^2}{y_1}+......+\frac{x_1^2}{y_2}\ge\frac{\left(x_1+........+x_n\right)^2}{y_1+...........+y_n}\)

- Áp dụng bđt cộng mẫu , ta có :

\(P=\frac{\sqrt{a}^2}{2\sqrt{b}-5}+\frac{\sqrt{b}^2}{2\sqrt{c}-5}+\frac{\sqrt{c}^2}{2\sqrt{a}-5}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)-15}\ge\frac{S^2}{2S-15}\)

( Trong đó \(S=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}>3\frac{5}{2}=\frac{15}{2}\))

- Đặt U = 2S - 15

+) u > 0 

+) \(S=\frac{u+15}{2}\)

\(P\ge\frac{1}{4}.\frac{\left(u+15\right)^2}{u}=\frac{1}{4}\left(u+\frac{15^2}{u}+30\right)\)

    \(\ge\frac{1}{4}\left(2\sqrt{u.\frac{15^2}{u}}+30\right)\left(Cauchy\right)\)

     \(\ge15\)

Ta có: \(a,b,c>\frac{25}{4}\Rightarrow2\sqrt{a}-5>0,2\sqrt{b}-5>0,2\sqrt{c}-5>0\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có: 

\(\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+2\sqrt{b}-5\ge2\sqrt{a}\) (1)

\(\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+2\sqrt{c}-5\ge2\sqrt{b}\) (2)

\(\frac{a}{2\sqrt{a}-5}+2\sqrt{a}-5\ge2\sqrt{c}\) (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta có: \(Q\ge5.3=15\)

Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=25 ( TMĐK)

Vậy Min Q =15 <=> a=b=c=25

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)

Tương tự cộng vế theo vế thì 

\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)

bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác

bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.

e nhầm đoạn này r

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\) rồi cộng lại thì 

\(M\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(2a+2b+2c\right)=\sqrt{5}\cdot2019\) ạ

Chắc lần này sẽ không nhầm nhưng hướng là thế ạ.

Bài 5 cần gì dùng Mincopxki chi cho mệt nhỉ?

\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left[2^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge\left(2x+\frac{1}{2x}\right)^2\)

Do đó: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{2x+\frac{1}{2x}}{\sqrt{2^2+\frac{1}{2^2}}}=\frac{4x+\frac{1}{x}}{\sqrt{17}}\)

Tương tự rồi cộng lại rồi dùng Cauchy-Schwarz