cho a,b \(\in\)Z , a \(\ne\)0 . k nguyên dương chứng minh rằng \(\frac{a}{b}\)< \(\frac{a+k}{b+k}\)
Vận dụng so sánh 2 phân số A = \(\frac{19^{2009}+1}{19^{2010}+1}\)với B = \(\frac{19^{2008}+1}{19^{2009}+1}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho \(a,b\in Z,a\ne-1,b\ne-1\)và \(\frac{a^3+1}{b+1}+\frac{b^3+1}{a+1}\in Z\)
Chứng mInh rằng:
a) \(a^{2019}-1⋮b+1\)
b) \(a^4.b^{44}-1⋮a+1\)
cho \(a\ne b\ne c\); a,b,c \(\in z\), đa thức P(x) có hệ số nguyên sao cho P(a)=P(b)=P(c)=2
chứng minh rằng Q(x)=P(x)-3 không có nghiệm nguyên
Bài 1: a) Với ane bne c.Chứng minh rằng: left(frac{a+b}{a-b}right)^2+left(frac{b+c}{b-c}right)^2+left(frac{c+a}{c-a}right)^2ge2.b) Với a,b,c0.Chứng minh rằng: frac{a^2-c^2}{b+c}+frac{c^2-b^2}{a+b}+frac{b^2-a^2}{c+a}ge0.Bài 2: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x^2+y^2+z^23. Chứng minh rằng: frac{xy}{z}+frac{yz}{x}+frac{zx}{y}ge3.
Đọc tiếp
Bài 1:
a) Với \(a\ne b\ne c.\)Chứng minh rằng:
\(\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2+\left(\frac{b+c}{b-c}\right)^2+\left(\frac{c+a}{c-a}\right)^2\ge2.\)
b) Với \(a,b,c>0.\)Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-a^2}{c+a}\ge0.\)
Bài 2: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3.\)
Chứng minh rằng: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge3.\)
Cho x,y,z là các số nguyên dương và x+y+z là số lẻ, các số thực a,b,c thỏa mãn \(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{a-c}{z}\) .Chứng minh rằng a=b=c
Áp dụng TCDTSBN ta có :
\(\frac{a-b}{x}=\frac{b-c}{y}=\frac{a-c}{z}=\frac{\left(a-b\right)+\left(b-c\right)-\left(a-c\right)}{x+y-z}=\frac{0}{x+y-z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a-b}{x}=0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\) (1)
\(\Rightarrow\frac{b-c}{y}=0\Rightarrow b-c=0\Rightarrow b=c\) (2)
\(\Rightarrow\frac{a-c}{z}=0\Rightarrow a-c=0\Rightarrow a=c\) (3)
Từ (1);(2) và (3) \(\Rightarrow a=b=c\) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
a)Cho x,y,z la các số dương
Chứng minh rằng: \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}\le\frac{3}{4}\)
b)Cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=0. Chứng minh rằng:\(ab+bc+ca\le0\)
đặt a = 2x+y+z ; b = 2y+z+x ; c = 2z+x+y => a+b+c = 4x+4y+4z
=> a - (a+b+c)/4 = x => x = (3a-b-c)/4 ; tương tự y = (3b-c-a)/4 ; z = (3c-a-b)/4
thay vào vế trái ta có
P = (3a-b-c)/4a + (3b-c-a)/4b + (3c-a-b)/4c =
= 9/4 - (b/4a + c/4a + c/4b + a/4b + a/4c + b/4c)
= 9/4 - (1/4)(b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c)
Côsi cho từng cặp ta có: b/a+a/b ≥ 2 ; c/a+a/c ≥ 2 ; c/b+b/c ≥ 2
=> b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c ≥ 6
=> -(1/4)(b/a+a/b +c/a+a/c + c/b+b/c) ≤ -6/4 thay vào P ta có:
P ≤ 9/4 - 6/4 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c hay x = y = z
cách này tuy biến đổi dài nhưng dễ hiểu)
------------
Cách khác:
P = x/(2x+y+z) -1 + y/(2y+z+x) -1 + z/(2z+x+y) - 1 + 3
= -(x+y+z)/(2x+y+z) -(x+y+z)/(2y+z+x) -(x+y+z)/(2z+x+y) + 3
= -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] + 3
- - -
Côsi cho 3 số:
2x+y+z + 2y+z+x + 2z+x+y ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y)
=> 4(x+y+z) ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (1*)
Côsi cho 3 số:
1/(2x+y+z)+1/(2y+z+x)+1/(2z+x+y) ≥ 3³√1/(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (2*)
Lấy (1*) *(2*) ta có:
4(x+y+z)[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≥ 9
=> -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≤ -9/4
thay vào P ta có:
P ≤ -9/4 + 3 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi x = y = z
Đúng 0
Bình luận (0)
Bạn ơi vì sao lại nhân với 9/4 mình tưởng chỉ nhân với 3/4 thôi chứ nhỉ
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\sqrt{ắdsadwaswa\hept{\begin{cases}\\\end{cases}}da\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}wáda\orbr{\begin{cases}\\\end{cases}}ưa\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}d\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\sigma ssssssa}\)
Xem thêm câu trả lời
cho K = \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{c+b+d}+\frac{d}{c+a+d}\)
với a,b,c,d là các sô nguyên dương . Chứng minh rằng K^10 < 2020
\(K=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}\)
Ta có : \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d};\frac{b}{a+b+d}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{c+b+d}< \frac{a+c}{a+b+c+d};\frac{d}{c+a+d}< \frac{b+d}{a+b+c+d}\)
\(\Rightarrow K=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{c+b+d}+\frac{d}{a+c+d}< \frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{c+a}{a+b+c+d}+\frac{d+b}{a+b+c+d}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow K^{10}< \left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{2^{10}}< 1< 2020\)
Vậy ....
a) Chứng minh rằng frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + frac{1}{5^2} + frac{1}{6^2} + ... + frac{1}{100^2} frac{1}{2}
b) Cho phân số frac{a}{b} và frac{a}{c} có b a - c ( a,b in Z , b ne 0 , c ne 0 ). Chứng tỏ rằng: frac{a}{b} . frac{a}{c} frac{a}{b} + frac{a}{c}và cho VD minh họa
Đọc tiếp
a) Chứng minh rằng \(\frac{1}{3^2}\) + \(\frac{1}{4^2}\) + \(\frac{1}{5^2}\) + \(\frac{1}{6^2}\) + ... + \(\frac{1}{100^2}\) < \(\frac{1}{2}\)
b) Cho phân số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{a}{c}\) có b = a - c ( a,b \(\in\) Z , b \(\ne\) 0 , c \(\ne\) 0 ). Chứng tỏ rằng: \(\frac{a}{b}\) . \(\frac{a}{c}\) = \(\frac{a}{b}\) + \(\frac{a}{c}\)và cho VD minh họa
a) \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{99\cdot100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}-\frac{1}{100}< \frac{1}{2}\)
b) b = a - c => b + c = a
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a^2}{bc}\\\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{ac+ab}{bc}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{a^2}{bc}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\)
Đúng 0
Bình luận (2)
Toán lớp 7 nèBài11. Cho ab+c và cfrac{bd}{b-d}(bne0, dne0). Chứng minh rằng frac{a}{b}frac{c}{d}2. Chứng minh rằng nếu 0a1 thì sqrt{a}aBài2Cho tam giác ABC có góc A 90 độ. Kẻ AH vuông góc với BC (HinBC). Các tia phân giác của các góc BAH và C cắt nhau ở KChứng minh AK vuông góc với CK
Đọc tiếp
Toán lớp 7 nè
Bài1
1. Cho a=b+c và c=\(\frac{bd}{b-d}\)(b\(\ne\)0, d\(\ne\)0). Chứng minh rằng \(\frac{a}{b}\)=\(\frac{c}{d}\)
2. Chứng minh rằng nếu 0<a<1 thì \(\sqrt{a}\)>a
Bài2
Cho tam giác ABC có góc A = 90 độ. Kẻ AH vuông góc với BC (H\(\in\)BC). Các tia phân giác của các góc BAH và C cắt nhau ở K
Chứng minh AK vuông góc với CK
Cho a,b,c,d \(\ne\)0 thỏa mãn : \(b^2=ac;c^2=bd\). Chứng minh rằng : \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)