Ta có \(m^2\ge0\) và \(n^2\ge0\)

Do đó \(m^2+n^2\ge0\)

Suy ra \(m^2+n^2+2\ge2\) (điều phải chứng minh).

vì m² > 0 với mọi m

n² > 0 với mọi n

=>m²+n² > 0

do đó  m²⁺ n² +2 > 0+2=2

Cho m+n=1 và m.n khác 0.

Chứng minh m/(n^3 -1) + n/(m^3 - 1) = 2(mn - 2)/(m^2 . n^2  + 3)

Làm lại : Ta có BĐT : \(\left(a-b\right)^2\text{≥}0\) ∀\(ab\)

⇔ \(a^2+b^2\text{≥}2ab\)

Áp dụng vào bài toán , ta có :

\(m^2+1\text{≥}2\sqrt{m^2}=2m\)

\(n^2+1\text{≥}2\sqrt{n^2}=2n\)

⇒ \(m^2+n^2+2\text{≥}2\left(m+n\right)\)

=> p^2 = (m-1)(m+n). => m+n thuộc ước dương của p^2 . mà p là số nguyên tố => m+n thuộc p,1,p^2. mà m+n> m-1=> m+n = p^2 => m-1 =1 => m=2=> p^2 = n+2(đpcm)

tại sao lại m+n lại là ước dương

p là snt nha bạn

ta có \(m^2-2m+1+n^2-2n+1=\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\Rightarrow DPCM\)

áp dụng BDT cô-si , ta có :

\(m^2+1\ge2\sqrt{m^2.1}=>m^2+1\ge2m\)

\(n^2+1\ge2\sqrt{n^2.1}=>n^2+1\ge2n\)

\(\Rightarrow m^2+1+n^2+1\ge2m+2n\)

\(\Rightarrow m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)

dấu "=" xảy ra khi m=n =1

=> đpcm

bảo nam trần sai rồi

Ta có :

m^2-2m+1+n^2-2n+1

= (m -1)^2+(n-1)^2>1 ( đpcm )