a) Ta có:  (do hai tam giác có chung chiều cao từ đỉnh A)

ΔABC có AD là phân giác

b) Với n = 7; m = 3, thay vào kết quả phần a ta có:

Vậy diện tích tam giác ADM chiếm 20% diện tích tam giác ABC.

Giải:

Ta có AD là đường phân giác của ∆ ABC nên

$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}$ = $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{m}{n}$(kết quả ở bài 16)

=> $\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}+S_{ABD}}$= $\frac{m}{n+m}$

hay $\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}$= $\frac{m}{n+m}$ => $S_{ABM}$= $\frac{1}{2}$ $S_{ABC}$.

Giả sử AB < AC( m<n) vì AD là đường phân giác, AM là đường trung tuyến kẻ từ A nên AD nằm giữa AB và AM.

=> $S_{ADM}$= $S_{ABM}$ - $S_{ABD}$

=> $S_{ADM}$ = $\frac{1}{2}$S -$\frac{m}{n+}$

a)

Có AB < AC (vì n > m) (1)

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}\) ( vì AD là phân giác của góc BAC) (2)

Từ (1) và (2), ta có BD < CD

⇒ D nằm giữa B và M

Đặt S₁, S₂ lần lượt là diện tích △ADM và △ADC

Ta có: \(\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.BD.AH}{\dfrac{1}{2}.CD.AH}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{m}{n}\)

⇒ \(\dfrac{S_1+S_2}{S_2}=\dfrac{m+n}{n}=\dfrac{S}{S_2}=\dfrac{m+n}{n}\Rightarrow S_2=\dfrac{n.S}{m+n}\)

Vì \(S_{AMC}=S_{AMB}=\dfrac{1}{2}.S\Rightarrow\)diện tích của △ADM là

\(S_{ADM}=S_{ADC}-S_{AMC}=S_2-\dfrac{1}{2}.S=\dfrac{n.S}{m+n}-\dfrac{1}{2}.S=\left[\dfrac{n-m}{2\left(m+n\right)}\right].S\)

b)

\(S_{ADM}=\left[\dfrac{7-3}{2\left(7+3\right)}\right].S=\dfrac{2}{10}.S=\dfrac{1}{5}.S=0,2.S=20\%.S\)

Vậy diện tích của △ADM bằng 20% diện tích của △ABC

 a) Do AD là tia phân giác của ∠BAC (gt)

⇒ ∠BAD = ∠CAD

Do ∆ABC cân tại A

⇒ AB = AC

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (cmt)

∠BAD = ∠CAD (cmt)

AD là cạnh chung

⇒ ∆ABD = ∆ACD (c-g-c)

⇒ BD = CD

⇒ D là trung điểm của BC (1)

Do ∆ABD = ∆ACD (cmt)

⇒ ∠ADB = ∠ADC (hai góc tương ứng)

Mà ∠ADB + ∠ADC = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠ADB = ∠ADC = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ AD ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AD là đường trung trực của BC

b) Sửa đề: Chứng minh ∆ADM = ∆ADN

Do ∠BAD = ∠CAD (cmt)

⇒ ∠MAD = ∠NAD

Xét ∆ADM và ∆ADN có:

AD là cạnh chung

∠MAD = ∠NAD (cmt)

AM = AN (gt)

⇒ ∆ADM = ∆ADN (c-g-c)

⇒ ∠AMD = ∠AND = 90⁰ (hai góc tương ứng)

⇒ DN ⊥ AN

⇒ DN ⊥ AC

d) Do K là trung điểm của CN (gt)

⇒ CK = KN

Xét ∆DKC và ∆EKN có:

CK = KN (cmt)

∠DKC = ∠EKN (đối đỉnh)

KD = KE (gt)

⇒ ∆DKC = ∆EKN (c-g-c)

⇒ ∠KDC = ∠KEN (hai góc tương ứng)

Mà ∠KDC và ∠KEN là hai góc so le trong

⇒ EN // CD

⇒ EN // BC (3)

∆AMN có:

AM = AN (gt)

⇒ ∆AMN cân tại A

⇒ ∠AMN = (180⁰ - ∠MAN) : 2

= (180⁰ - ∠BAC) : 2 (4)

∆ABC cân tại A (gt)

⇒ ∠ABC = (180⁰ - ∠BAC) : 2 (5)

Từ (4) và (5) ⇒ ∠AMN = ∠ABC

Mà ∠AMN và ∠ABC là hai góc đồng vị

⇒ MN // BC (6)

Từ (3) và (6) kết hợp với tiên đề Euclide ⇒ M, N, E thẳng hàng

a)Áp dụng định lí pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có

BC^2=AB^2+AC^2

=>BC^2=4^2+3^2

=>BC^2=16+9=25

=>BC=căn25=5 (cm)

vậy,BC=5cm

b)Xét tam giác ABC và AED có

AB=AE(gt)

 là góc chung

AC=AD(gt)

=>tam giác ABC=tam giác AED(c-g-c)

Xét tam giác AEB có:Â=90*;AE=AB

=>tam giác AEB vuông cân tại A

Vậy tam giác AEB vuông cân

c)Ta có EÂM+BÂM=90*

      mà BÂM+MÂB=90*

=>EÂM=MÂB

mà MÂB=AÊD(cm câu b)

=>EÂM=AÊD hay EÂM=AÊM

xét tam giác EAM có: EÂM=AÊM(cmt)

=>tam giác EAM cân tại M

=>ME=MA                  (1)

Ta có góc ACM+CÂM=90*

mà BÂM+CÂM=90*

=>góc ACM=BÂM

mà góc ACM=góc ADM( cm câu b)

=>góc ADM=DÂM

Xét tam giác MAD có góc ADM=DÂM(cmt)

=>tam giác ADM cân tại M

=>MA=MD                   (2)

 Từ (1) và (2) suy ra MA=ME=MD

ta có định lí:trong 1 tam gáic vuông, đg trung truyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

=>MA=1/2ED

=>MA là đg trung tuyến ứng với cạnh ED

Vậy MA là đg trung tuyến của tam giác ADE

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

B C 2 = A B 2 + A C 2 = a 2 + b 2

Suy ra:

Ta có: AM = BM = 1/2.BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Suy ra: AM = 1/2 a 2 + b 2

Vì AD là đường phân giác của ∠(BAC) nên:

 (tính chất đường phân giác)

Suy ra: 

hay 

Vậy