Hình tự vẽ nha 

a) Vì tam giác ABC cân tại A

=> ABC = ACB (1)

Ta có ABC + ABD = ACB + ACE ( cùng = 180⁰ ) (2)

Từ (1) và (2) => ABD = ACE

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có :

AB = AC ( gt )

ABD = ACE ( cmt )

BD = CE ( gt )

=> tam giác ABD = tam giác ACE ( c-g-c )

=> D = E

Xét tam giác BHD và tam giác CKE có :

DHB = EKC ( = 90⁰ )

BD = CE ( gt )

D = E ( cmt )

=> tam giác BHD = tam giác CKE ( ch - gn )

=> đpcm

b) Vì tam giác ABD = tam giác ACE ( chứng minh câu a )

=> HAB = KAC ( 2 góc tương ứng )

Xét tam giác AHB và tam giác AKC có :

HAB = KAC ( cmt )

AHB = AKC ( = 90⁰ )

AB = AC ( gt )

=> tam giác AHB = tam giác AKC ( ch - gn )

=> đpcm

c) Nối H với K

Xét tam giác ADE cân tại A ( vì AD = AE )

=> \(\widehat{D}=\frac{180^0-\widehat{DAE}}{2}\left(1\right)\)

Xét tam giác AHK cân tại A ( vì AH = AK )

\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\frac{180^0-\widehat{DAE}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => D = AHK

mà 1 góc này ở vị trí đồng vị

=> HK // DE hay HK // BC ( đpcm ) 

Có j lên đây hỏi nha : Group Toán Học

δγΣαγηθλΣϕΩβΔ

Xét △AMD và △DMC

   AB=AC(giả thuyết)

   Cạnh AM là cạnh chung 

   BM= CM ( M là trung điểm của cạnh BC)

=> △AMD=△DMC

Sorry bạn nhé mk chỉ bt làm câu a thui ☹
   

a) Vì AH = HD => EH là đg trung tuyến của tg ADE

Khi đó C thuộc đg trung tuyến EH (1)

Do tg ABC cân tại A

mà AH là đg cao của tg ABC

=> AH là đg trung trực của tg ABC

=> BH = CH

=> BH = CH = 1/2 BC

Lại do BC = CE

=> CH = 1/2 CE

hay CE = 2/3 EH (2)

Từ (1); (2) => C là trọng tâm tg ADE.

Xét ΔAHBΔAHB và ΔAHCΔAHC có :

HAHA chung

HB=HCHB=HC ( AH là đường trung tuyến của BC )

AB=ACAB=AC ( ΔABCΔABC cân tại A )

Do đó : ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)

⇒AHBˆ=AHCˆ⇒AHB^=AHC^ ( hai góc tương ứng )

Mà AHBˆ+AHCˆ=180oAHB^+AHC^=180o ( hai góc kề bù )

⇒AHBˆ=AHCˆ=180o2=90o⇒AHB^=AHC^=180o2=90o

Xét ΔAHEΔAHE và ΔHEDΔHED có :

HEHE chung

HA=HDHA=HD ( HE là đường trung tuyến của AD )

AHEˆ=DHEˆ(=90o)AHE^=DHE^(=90o)

Do đó : ΔAHE=ΔDHEΔAHE=ΔDHE ( hai cạnh góc vuông )

⇒AEHˆ=DEHˆ⇒AEH^=DEH^ ( góc tương ứng ) (*)

Vì C là trọng tâm của ΔAEDΔAED ⇒AM⇒AM là đường trung tuyến của DE )

⇒DM=ME⇒DM=ME

Xét ΔHEDΔHED vuông tại H có : HM là đường trung tuyến nối từ đỉnh H đến DE

⇒HM=DM⇒HM=DM (1)

Lưu ý : Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền . Tức HM=12DEHM=12DE. Mà 12DE=DM12DE=DM⇒HM=DM⇒HM=DM

Trở lại vào bài :

Mặt khác DM=ME(cmt)DM=ME(cmt)(2)

Từ (1) và (2) ⇒HM=ME⇒HM=ME

⇒ΔHME⇒ΔHME cân tại M

⇒MHEˆ=MEHˆ⇒MHE^=MEH^

Dễ thấy MEHˆ=HEAˆ(cmt)MEH^=HEA^(cmt) ở cái (*)

⇒MHEˆ=HEAˆ⇒MHE^=HEA^

mà hai góc này ở vị trí so le trong

⇒HM⇒HM//AEAE (đpcm)

mk nhầm phần b

Xét ΔAHB và ΔAHC có :

HAchung

HB=HC ( AH là đường trung tuyến của BC )

AB=AC ( ΔABC cân tại A )

Do đó : )ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)

⇒AHBˆ=AHCˆ ( hai góc tương ứng )

Mà AHBˆ+AHCˆ=180o( hai góc kề bù )

⇒AHBˆ=AHCˆ=180o2

Xét ΔAHE và ΔHEDcó :

HE chung

HA=HD ( HE là đường trung tuyến của AD )

AHEˆ=DHEˆ(=90o)

Do đó : ΔAHE=ΔDHE ( hai cạnh góc vuông )

⇒AEHˆ=DEHˆ⇒AEH^=DEH^ ( góc tương ứng )

Vì C là trọng tâm của ΔAED ⇒AM là đường trung tuyến của DE )

⇒DM=ME

Xét ΔHEDvuông tại H có : HM là đường trung tuyến nối từ đỉnh H đến DE

⇒HM=DM⇒HM=DM (1)

Lưu ý : Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền . Tức HM=12DEMà 12DE=DM⇒HM=DM

Trở lại vào bài :

Mặt khác DM=ME(cmt)

Từ (1) và (2) ⇒HM=ME

⇒ΔHME⇒ΔHME cân tại M

⇒MHEˆ=MEHˆ

Dễ thấy MEHˆ=HEAˆ(cmt)

⇒MHEˆ=HEAˆ

mà hai góc này ở vị trí so le trong

⇒HM//AE (đpcm)

- Gợi ý:

Câu 1:

a) - Sửa lại đề: Tam giác ABD=Tam giác ICE (c-g-c) do có AB=AC=CI, góc ABC=góc ACB=góc ECI, BD=CE.

b) Do tam giác ABD=Tam giác ICE nên AD=IE : 

AE+EI>AI=2AC=AB+AC

=>AE+AD>AB+AC.

Câu 2:

- Tam giác MBD=Tam giác NCE do góc MDB=góc CEN=90⁰, BD=CE,

góc MBD=góc NCE. nên BM=CN

Câu 3:

- AB=AM+BM ; CI=CN+NI.

=>AM=NI.

=>AM+AN=AM+NI=AI=AB+AC.

-c/m MN>BC (c/m mệt lắm nên mình nói ngắn gọn).

MN cắt BC tại F =>MF>DF, NF>EF

MF+NF>DF+EF=DF+CF+CE=DF+CF+BD=BC =>MN>BC

a) Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tam giác ABC cân tại A -gt)

Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180^o\\\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^o\end{matrix}\right.\) (kề bù)

=> \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Xét \(\Delta ABD;\Delta ACE\) có :

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A -gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)

\(BD=CE\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(c.g.c\right)\)

b) Xét \(\Delta AHB;\Delta AKC\) có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}\left(=90^{^O}\right)\)

\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\) (do \(\Delta ABD=\Delta ACE\) -cmt)

=> \(\Delta AHB=\Delta AKC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

c) Từ \(\Delta ABD=\Delta ACE\) - câu a

=> \(AD=AE\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ADE\) có :

\(AD=AE\left(cmt\right)\)

=> \(\Delta ADE\) cân tại A (đpcm)

d) Xét \(\Delta AHK\) có :

\(AH=AK\) (do \(\Delta AHB=\Delta AKC\) - câu b)

=> \(\Delta AHK\) cân tại A

Nên ta có : \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{DAE}}{2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ADE\) cân tại A (câu c) có :

\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{DAE}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{AHK}=\widehat{ADE}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{DAE}}{2}\right)\)

Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> HK // DE

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}B\in DE\\C\in DE\end{matrix}\right.\)

Do đó : \(\text{BC // HK (đpcm) }\)

a) Vì tam giác ABC cân tại A => góc ABC = góc ACB ( tính chất tam giác cân )

Ta có : góc ABC + góc ABD = 180^o ( hai góc kề bù ) ; góc ACB + góc ACE = 180^o ( hai góc kề bù ) mà góc ABC = góc ACB ( tam giác ABC cân tại A ) => góc ABD = góc ACE

Xét tam giác ABD và tam giác ACE , có :

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

góc ABD = góc ACE ( chứng minh trên )

BD = CE ( gt )

=> tam giác ABD = tam giác ACE ( c-g-c )

Vậy tam giác ABD = tam giác ACE ( c-g-c )

b) Xét tam giác AHB và tam giác AKC , có :

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

góc AHB = góc AKC ( = 90^o )

góc HAB = góc KAC ( tam giác ABD = tam giác ACE )

=> tam giác AHB = tam giác AKC ( cạnh huyền - góc nhọn)

Vậy tam giác AHB = tam giác AKC ( cạnh huyền - góc nhọn)

c) Vì tam giác ABD = tam giác ACE ( chứng minh trên ) => AD = AE ( hai cạnh tương ứng ) => tam giác ADE cân tại A

Vậy tam giác ADE là tam giác cân

d) Vì tam giác AHB = tam giác AKC ( chứng minh trên ) => AH = AK ( hai cạnh tương ứng ) => tam giác AHK cân tại A => góc AHK = góc AKH ( tính chất tam giác cân )

Xét tam giác AHK cân tại A : góc HAK + góc AHK + góc AKH = 180^o ( định lý tổng ba góc trong một tam giác )

=> góc AHK = góc AKH = 180^o - góc HAK / 2 ( 1 )

Xét tam giác ADE cân tại A => góc ADE = góc AED ( tính chất tam giác cân ) : góc DAE + góc ADE + góc AED = 180^o ( định lý tổng ba góc trong một tam giác )

=> góc ADE = góc AED = 180^o - góc DAE / 2 ( 2 )

Từ (1) và (2) => góc AHK = góc ADE mà hai góc ở vị trí đồng vị nên HK // DE hay HK // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Vậy HK // BC ( đpcm )

****** Chúc bn hc tốt ***********

\(a,\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\BH=HC\\AH\text{ chung}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AHC\left(c.c.c\right)\\ \Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\\ \text{Mà }\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\\ \Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0\\ \Rightarrow AH\perp BC\\ b,\left\{{}\begin{matrix}HM=HA\\\widehat{AHB}=\widehat{MHC}\left(đđ\right)\\BH=HC\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AHB=\Delta MHC\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow\widehat{HBA}=\widehat{HCM}\\ \text{Mà 2 góc này ở vị trí slt nên }AB\text{//}MC\)

a) Do tam giác ABC cân tại A nên \(AB=AC;\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Vậy thì \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(c-g-c\right)\)

b) Do \(\Delta ABD=\Delta ACE\Rightarrow\widehat{KDC}=\widehat{HEB}\)

Lại có DC = DB + BC = CE + BC = BE

Vậy thì \(\Delta DKC=\Delta EHB\)  (Cạnh huyền góc nhọn)

\(\Rightarrow BH=CK\)

c) Xét hai tam giác vuông ABH và ACK có : 

BH = CK

AC = AC

\(\Rightarrow\Delta BAH=\Delta CAK\)  (Cạnh huyền - cạnh góc vuông)

a) Tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow180^0-\widehat{ABC}=180^0-\widehat{ACB}\)

Hay \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Theo định lý Cos ta có

\(AD=\sqrt{DB^2+AB^2-2\cdot DB\cdot AB\cdot\cos DBA}\)

\(AE=\sqrt{AC^2+CE^2-2\cdot AC\cdot CE\cdot\cos ACE}\)

Vì AB = AC ( tam giác ABC cân tại A ) và DB =CE và góc DBA = góc ACE

Nên AD = AE hay tam giác ADE cân tại A

b)\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\)(ADE cân)

Nên góc KCE = góc DBH

Vậy \(\widehat{HBA}=\widehat{KCA}\)( góc DBA = góc ACE)

Xét tam giác HBA và tam giác ACK vuông có :

+ góc HBA = góc KCA

+ AB = AC

\(\Rightarrow\Delta HBA=\Delta KCA\left(ch-gn\right)\)=> HB = KC (hai cạnh tương ứng)

c) Ta có \(180^0=\widehat{HBA}+\widehat{ABC}+\widehat{OBC}\)

\(180^0=\widehat{ACK}+\widehat{ACB+\widehat{OCB}}\)

\(\widehat{HBA}=\widehat{ACK}\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Nên \(\widehat{OCB}=\widehat{OBC}\)hay tam giâc OBC cân tại O 

d) Xét tam giác AMB và tam giác AMC 

+ AM chung 

+ BM = MC (gt)

+ AB = AC (gt)

Vậy hai tam giác trên bằng nhau theo trường hợp c-c-c

Và hai góc BAM = góc CAM 

Hay AM là tia phân giác của góc BAC

Xét tam giác AOB và tam giác ACO

+ AB = AC (gt)

+ OB = OC (cmt )

+ góc ABO = góc ACO vì \(\widehat{ABM+\widehat{OBC}=\widehat{ACM}+\widehat{OCB}}\)

Vậy hai tam giác trên bằng nhau theo trường hợp c-g-c

Và góc BAO = góc CAO

Hay AO là phân giác của góc BAC

Một góc chỉ có duy nhất một tia phân giác nên AM và AO là một hay A,M,O thẳng hàng