Bạn tự vẽ hình nhé.

a) Tam giác OAB cân tại O => góc OBA = OAB

 Tam giác O'AC cân tại O' =>góc O'AC =O'CA mà OAB =O'AC  dối đỉnh

=> góc OBA = O'CA  mà 2 góc này là SLT => OB//O'C

b) => góc OBx - OBA = O'Cy - O'CA

=> ABx =ACy mà 2 góc này ở vị trí SLT => Bx //Cy

BD//CE

Ax là tiếp tuyến

=>Ax//BD//CE

=>Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔOIO' nằm trên Ax

=>BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔOIO'

Lời giải:
Vì $IB, IA$ là 2 tiếp tuyến giao nhau của $(O)$ nên $IB=IA$

$\Rightarrow \triangle IBA$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IAB}=\widehat{IBA}(1)$

Tương tự: $ICA$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IAC}=\widehat{ICA}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{IAB}+\widehat{IAC}=\widehat{IBA}+\widehat{ICA}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{CBA}+\widehat{BCA}$

Mà $\widehat{BAC}+(\widehat{CBA}+\widehat{BCA})=180^0$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=90^0$ (đpcm)

b. $(O), (O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$ nên $O,A,O'$ thẳng hàng

$IA$ là tiếp tuyến chung của $(O), (O')$ nên $IA\perp OO'$

$BI, IA$ là 2 tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(O)$  nên $IO$ là phân giác $\widehat{BIA}$ (tính chất 2 tt cắt nhau)

Tương tự: $IO'$ là phân giác $\widehat{CIA}$

Mà $\widehat{BIA}+\widehat{CIA}=\widehat{BIC}=180^0$ nên $\widehat{OIO'}=90^0$

Tam giác $OIO'$ vuông tại $I$ có $IA\perp OO'$ nên áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:

$IA^2=OA.O'A=9.4=36$ 

$\Rightarrow IA=6$ (cm)

$BC=BI+IC=IA+IA=2IA=12$ (cm)

Hình vẽ:

Ta có: BD là đường kính => \(\widehat{DAB}=90\)

Tương tự ta có: \(\widehat{EAC}=90\)

Vậy => \(\widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{EAC}=90+90=180\)

=> 3 điểm A,D,E nằm trên 1 đường thẳng (ĐPCM)

b) Ta có: (O) và (O') tiếp xúc nhau nên O,A,O' thẳng hàng

=> \(\widehat{CAO'}=\widehat{OBA}\)(đối đỉnh)

Măt khác, Xét tam giác cân AO'C có: \(\widehat{CAO'}=\widehat{O'CA}\)

Tương tự tam giác cân AO'B có: \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)

Từ 3 điều đó: ta suy ra: \(\widehat{ACO'}=\widehat{OBA}\)

Vậy BD // CE do 2 dóc ở vị trí so le trong

a: Xét ΔOBA và ΔOCA có 

OB=OC

\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA
Suy ra: \(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^0\)

hay AC là tiếp tuyến của (O)

b:

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại C

Xét ΔOBA vuông tại B và ΔDCB vuông tại C có

\(\widehat{BOA}=\widehat{CDB}\)

Do đó: ΔOBA∼ΔDCB

Suy ra: \(\dfrac{OB}{DC}=\dfrac{OA}{BD}\)

hay \(DC\cdot OA=2\cdot R^2\)