hình thì bạn tự vẽ nha !

a) xét ΔAMB và ΔAMC, ta có : 

AB = AC (gt)

MB = MC (vì M là trung điểm của cạnh BC)

AM là cạnh chung

⇒ ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)

b) vì ΔAMB = ΔAMC nên ⇒ \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 góc tương ứng)

ta có : \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

⇒ AM vuông góc với BC

c) vì ΔAMB = ΔAMC nên ⇒ \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)

xét ΔAHM và ΔAKM, ta có : 

AM là cạnh chung

\(\widehat{HAM}=\widehat{KAM}\) (cmt)

⇒ ΔAHM = ΔAKM (cạnh góc vuông và góc nhọn kề)

⇒ HA = KA (2 cạnh tương ứng)

HB không thể nào bằng AC được nha, có thể đề sai 

d) vì HA = KA nên ⇒ ΔHAK là tam giác cân

trong ΔAHK, ta có : \(\widehat{AHK}=\left(180^0-\widehat{A}\right)\div2\)   (1)

trong ΔABC, ta có : \(\widehat{ABC}=\left(180^0-\widehat{A}\right)\div2\)    (2)

từ (1) và (2) ta suy ra \(\widehat{AHK}=\widehat{ABC}\), mà 2 góc này ở vị trí đồng vị, => HK // BC

Chứng minh:

a) Xét hai ∆AMB và ∆AMC có:

       AB = AC (GT)

       MB = MB (M là trung điểm của BC)

       AM là cạnh chung

Vậy ∆AMB = ∆AMC(c.c.c)

b) Có ∆AMB = ∆AMC(theo a)

⇒ Góc AMB = Góc AMC(2 góc tương ứng)

mà góc AMB + AMC = 180° (2 góc kề bù)

⇒ Góc AMB = Góc AMC = 90°

⇒ AM ∟ BC

c) ΔABC có:

       AB = AC(GT)

⇒ ΔABC cân tại A

⇒ Góc B = Góc C

Có MH∟AB tại H ⇒ Góc MHB = 90°

Có MK∟AC tại K ⇒ Góc MKC = 90°

Xét hai ΔBHM và ΔCKM có:

       Góc B = Góc C(ΔABC cân tại A)

       MB = MC(M là trung điểm của BC)

       Góc MHB = Góc MKC = 90°

Vậy ΔBHM = ΔCKM(g.c.g)

⇒ HB = KC(2 cạnh tương ứng)

Có HB + HA = AB

⇒ HA = AB - HB

Có KC + KA = AC

⇒ KA = AC - KC

mà AB = AC(GT)

       HB = KC(2 cạnh tương ứng)

⇒ HA = KA (2 cạnh tương ứng)

Bạn còn cách nào giải phần d mà ko dùng đến tam giác cân ko

\(AB^2=AH^2+BH^2\Rightarrow AH^2=AB^2-BH^2\left(1\right)\left(Pitago\right)\)

\(AC^2=AH^2+CH^2\Rightarrow AH^2=AC^2-CH^2\left(2\right)\left(Pitago\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AC^2-CH^2=AB^2-BH^2\)

\(\Rightarrow AB^2+CH^2=AC^2+BH^2\)

\(\Rightarrow dpcm\)

 Ta có \(AB^2-AC^2=\left(BH^2+AH^2\right)-\left(CH^2+AH^2\right)\) \(=BH^2-CH^2\) \(\Rightarrow AB^2+CH^2=AC^2+BH^2\), đpcm.

 (Bài này kết quả vẫn đúng nếu không có điều kiện tam giác ABC vuông tại A.)

`#3107.101107`

`a,`

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ACH$:

`AB = AC` $(\triangle ABC$cân tại A`)`

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) $(\triangle ABC$cân tại A`)`

`HB = HC ( H` là trung điểm của BC`)`

$=> \triangle ABH = \triangle ACH (c - g - c)$

Vì $\triangle ABH = \triangle ACH$

`=>`\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\)

Mà `2` góc này nằm ở vị trí kề bù

`=>` \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)

`=>` \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\) `=> AH \bot BC`

`b,`

Vì $\triangle ABH = \triangle ACH (a)$

`=>`\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\)

Xét $\triangle AHM$ và $\triangle AHN$:

AH chung

\(\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\left(CMT\right)\)

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\left(=90^0\right)\)

$=> \triangle AHM = \triangle AHN (ch - gn)$

`c,`

Xét $\triangle HMB$ và $\triangle HNC$:

\(\widehat{HMB}=\widehat{HNC}\left(=90^0\right)\)

`HB = HC` `(`gt`)`

\(\widehat{HBM}=\widehat{HCN}\) $(\triangle ABC$ cân tại A`)`

$=> \triangle HMB = \triangle HNC (ch - gn)$

`=>`\(\widehat{BHM}=\widehat{CHN}\left(2\text{ góc tương ứng}\right)\) `(1)`

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MHB}+\widehat{KHB}=\widehat{MHK}\\\widehat{NHC}+\widehat{IHC}=\widehat{NHI}\end{matrix}\right.\)

Mà \(\widehat{MHK}=\widehat{NHI}\left(\text{đối đỉnh}\right)\) `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=>` \(\widehat{KHB}=\widehat{IHC}\)

Xét $\triangle KHB$ và $\triangle IHC$:

\(\widehat{KBH}=\widehat{ICH}\left(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\right)\)

`HB = HC`

\(\widehat{KHB}=\widehat{IHC}\)

$=> \triangle KHB = \triangle IHC (g - c - g)$

`=> BK = CI` `(2` cạnh tương ứng`)`

Ta có:

`AK = AB + BK`

`AI = AC + CI`

Mà `AB = AC; BK = CI`

$=> AK = AI => \triangle AIK$ cân tại A.

\(\text{Nối M với C}\)

\(\text{Xét :}\)\(\Delta MCH\perp H\text{ có}:\)

\(CH^2+MH^2=MC^2\left(Đlpytago\right)\)

\(\Rightarrow CH^2=MC^2-MH^2\)

\(\Rightarrow CH^2-BH^2=MC^2-MH^2-BH^2\)

\(\Rightarrow CH^2-BH^2=MC^2-\left(MH^2+BH^2\right)\)

\(\Rightarrow CH^2-BH^2=MC^2-MB^2\left(\Delta MHB\perp\text{tại H,MB^2}=MH^2+BH^2\left(pytago\right)\right)\)

\(\Rightarrow CH^2-BH^2=AC^2\)\(\left(\Delta AMC\perp\text{tại A},MC^2-MA^2=AC^2\left(PYTAGO\right)\right)\)

Từ A hạ AK ⊥BC( AK∈ BC)

{AK⊥BCMN⊥BC{AK⊥BCMN⊥BC

⇒AK//MN

=>NBKNNBKN=MBMAMBMA=1

=>KN=NB

Xét Δ vuông CAK và Δ ABC

AKCˆAKC^=CABˆCAB^=90o

AKCˆAKC^=ACBˆACB^

=> Δ CKA đồng dạng với Δ CAB

=>CACBCACB=CKCACKCA⇔CA2=CB.CK

=>CA2= (CN+NB)(CN-NB)

=CN2-NB2(đpcm)