a: Xét ΔABM và ΔACM có

AB=AC

AM chung

BM=CM

Do đó: ΔABM=ΔACM

Ta có: ΔBAC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM là đường cao

b: Xét ΔAEM vuông tại E và ΔAFM vuông tại F có

AM chung

\(\widehat{EAM}=\widehat{FAM}\)

Do đó; ΔAEM=ΔAFM

Suy ra: ME=MF

hay ΔMEF cân tại M

c: BC=6cm nên BM=CM=3cm

=>AM=4cm

d: Xét ΔABC có AE/AB=AF/AC

nên EF//BC

Kẻ CH ⊥ BI và CH cắt BA tại D. Tam giác BCD có BH vừa là phân giác vừa là đường cao => Tam giác BCD cân tại B => BH là đường trung tuyến luôn => CH = DH. và DC = 2HC. 
Đặt BC = x() Ta có: AD = BD - AB = BC - AB = x - 5 
Gọi giao điểm của AC và BH là E. 
Xét tam giác AEB và tam giác HEC có góc EAB = góc EHC = 90độ và góc AEB = góc HEC (đối đỉnh) 
=> tam giác AEB ~ tam giác HEC(g.g) 
=> Góc HCE = góc ABE. 
=> Góc HCE = góc ABC/2 (1) 
Mà Góc ECI = gócACB/2 (2) 
Từ (1) và (2) => Góc ICH = Góc HCE + Góc ECI = (gócABC + góc ACB)/2 = 90độ/2 = 45độ. 
Xét tam giác HIC có góc IHC = 90độ và Góc ICH = 45 độ (góc còn lại chắc chắn = 45 độ) 
=> tam giác HIC vuông cân tại H => HI = HC. 
Áp dụng đinh lý Py-ta-go cho tam giác này ta được: 2CH² = IC² 
=> √2.CH = IC 
=> CH = (IC)/(√2) 
=> CH = 6/(√2) 
=> DC = 2CH = 12/(√2) = 6√2 
Xét tam giác: ADC có góc DAC = 90độ 
=> Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: DC² = AD² + AC² 
=> AC² = DC² - AD² 
=> AC² = (6√2)² - (x - 5)² (3) 
Tương tự đối với tam giác ABC ta có: AC² = BC² - AB² 
=> AC² = x² - 5² (4) 
Từ (3) và (4) => (6√2)² - (x - 5)² = x² - 5² 
<=> 72 - (x² - 10x + 25) = x² - 25 
<=> 72 - x² + 10x - 25 - x² + 25 = 0 
<=> -2x² + 10x + 72 = 0 
<=> x² - 5x - 36 = 0 
<=> x² - 9x + 4x - 36 = 0 
<=> x(x - 9) + 4(x - 9) = 0 
<=> (x - 9)(x + 4) = 0 
<=> x - 9 = 0 hoặc x + 4 = 0 
<=> x = 9 hoặc x = -4 
=> chỉ có giá trị x = -9 là thoả mãn đk x > 5 
=> BC = 5cm 

kẻ bí mật làm đùng rồi 

tk mình nhé chúc bạn học giỏi ^-^

a, Xét tứ giác ADEC có: DE // AC ( DE là đường trung bình của tam giác ABC)

     \(\Rightarrow\)tứ giác ADEC là hình thang.

b, Xét tứ giác AEBM có: AD = BD ( gt)

                                          MD = ED ( N đối xứng với E qua D)

\(\Rightarrow\)Tứ giác AEBM là hình bình hành (1)

Mặc khác: \(\Delta ABC\)cân tại A có AE là đường trung tuyến

\(\Rightarrow\)AE cũng là đường cao.

\(\Rightarrow\)AE vuông góc bới BC

\(\Rightarrow\)góc AEB = 90' (2)

Từ (1) và (2), suy ra: AEBM là hình chữ nhật.

Để AEBM là hình chữ nhật \(\Leftrightarrow\)AB vuông góc với ME

                                                        hay AB vuông góc với DE

                                                       Mà DE // AC

                        Suy ra: AB vuông góc với AC

                         Hay: \(\Delta ABC\)vuông cân tại A

c,Ta có BC = 6cm. Suy ra BE = 3cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABE

TA có: AE² + BE² = AB²

        AE² = AB² - BE² = 5² - 3² = 4²

Suy ra: AE = 4cm

Diện tích hình chữ nhật AEBM bằng: 3 . 4 = 12 (cm²)

Xong rồi bạn nhá. Vất vả lắm mới vẽ được cái hình đó.