Có thể thay đề bài từ tìm nghiệm nguyên thành tìm nghiệm.

Ta có: \(x^2-10x+29=\left(x-5\right)^2+4\ge4>0;y^2+6y+14=\left(y+3\right)^2+5\ge5>0\).

Từ đó \(\left(x^2-10x+29\right)\left(y^2+6y+14\right)\ge4.5=20\).

Do đẳng thức xảy ra nên ta phải có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-5\right)^2=0\\\left(y+3\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-3\end{matrix}\right.\).

Vậy...

từ pt suy ra((x-5)^2+4)((y+3)^2+5)-20=0

((x-5)(y+3))^2+5(x-5)^2+4(y+3)^2+20-20=0

((x-5)(y+3)^2+5(x-5)^2+4(y+3)^2=0

suy ra x=5,y=-3

Ta có: \(7\left(x^2+xy+y^2\right)=39\left(x+y\right)\)  nên \(x^2+xy+y^2⋮39\)   \(x+y⋮7\)

 Đặt \(x^2+xy+y^2=39k;x+y=7k\)  \(\left(k\in N\right)\)   vì  \(x^2+xy+y^2\ge0\)

  \(\Rightarrow xy=\left(x+y\right)^2-\left(x^2+xy+y^2\right)=49k^2-39k\)

Theo Viet x,y là nghiệm của phương trình \(a^2-49k^2a+49k^2-39k=0\)

  Phương trình có 2 nghiệm khi \(\Delta=49k^2-4.49k^2+4.39k=156k-147k^2=k\left(156-147k\right)\ge0\)

  Vì k>0 nên \(156>147k\), vì k nguyên nên k=1

Do đó ta có x + y = 7,xy=10 nên áp dụng viet, ta giải được (x,y)=(2;5);(5;2)

Đó là giá trị nguyên cần tìm