Giả sử a< b < c thì a \(\ge\)2 , b \(\ge\)3 , c\(\ge\)5 . Ta có :

\(\frac{1}{\left[a,b\right]}=\frac{1}{ab}\le\frac{1}{6},\frac{1}{\left[c,a\right]}=\frac{1}{ca}\le\frac{1}{10}\)

=> vế trái nhỏ hơn hoặc bằng \(\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\)

\(\text{Vì }\left[a,b\right],\left[b,c\right],\left[c,a\right]\text{ là BCNN}\)

\(\Rightarrow\left[a,b\right]=a.b;\left[b,c\right]=b.c;\left[c,a\right]=c.a\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left[a+b\right]}+\frac{1}{\left[b+c\right]}+\frac{1}{\left[c+a\right]}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

\(\text{Giả sử }a< b< c\)

\(\Rightarrow a\le2;b\le3;c\le5\)

\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.2}=\frac{1}{3}\)

\(\text{hay }\frac{1}{\left[a+b\right]}+\frac{1}{\left[b+c\right]}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{3}\left(đpcm\right)\)

ể ==

\(2< 3\Rightarrow\frac{1}{2}>\frac{1}{3}\)

Cậu Bé Tiến Pro: e đổi dấu đi :)) 

Boul đẹp trai_tán gái đổ 100% : uh

Đặt \(a-b=x;b-c=y;c-a=z\)

\(\Rightarrow x+y+z=a-b+b-c+c-a=0\)

Lúc đó: \(B=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

Mà \(x+y+z=0\Rightarrow2\left(x+y+z\right)=0\Rightarrow\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow B=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}\)

\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xz}+\frac{2}{xy}\)

\(=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\)

Câu 2/

\(\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}-\frac{1}{a}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}-\frac{1}{b}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}-\frac{1}{c}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-a\right)\left(c-a\right)}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{c^2\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-a^2b^4c^2-a^2b^2c^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4\left(1\right)\)

Ma ta có: \(\hept{\begin{cases}a^4b^4+b^4c^4\ge2a^2b^4c^2\left(2\right)\\b^4c^4+c^4a^4\ge2a^2b^2c^4\left(3\right)\\c^4a^4+a^4b^4\ge2a^4b^2c^2\left(4\right)\end{cases}}\)

Cộng (2), (3), (4) vế theo vế rồi rút gọn cho 2 ta được điều phải chứng minh là đúng.

PS: Nếu nghĩ được cách khác đơn giản hơn sẽ chép lên cho b sau. Tạm cách này đã.

tks bn nhé, bn giúp mk câu 1 được ko

Thỏa theo nguyện vọng mình làm luôn câu 1 cho b luôn :)

Câu 1/

\(A=\frac{\left(x+1\right)\left(x-y\right)}{y^2-xy+1}\)

Điều kiện: \(y^2-xy+1\ne0\)

Với x, y cùng chẵn, lẻ và x lẻ y chẵn thì tử là số chẵn, mẫu là số lẻ nên A sẽ là số chẵn.

Với x chẵn y lẻ thì tử là số lẻ mẫu là số chẵn nên A không phải là số nguyên.

Từ đây ta có được nếu A là số nguyên tố thì A chỉ có thể là 2.

\(A=\frac{\left(x+1\right)\left(x-y\right)}{y^2-xy+1}=2\)

\(\Leftrightarrow2y^2-xy+y-x^2-x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(2y+x+1\right)=2\)

\(\Rightarrow\left(x-y,2y+x+1\right)=\left(1,2;2,1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)

1.Đặt P = ( a-b) / c + ( b-c)/a + ( c-a ) /b 
Nhân abc với P ta được ; P abc = ab( a-b) + bc ( b-c) + ac ( c-a ) 
= ab( a-b) + bc ( a-c + b-a ) + ac ( a-c) 
= ab( a-b) - bc ( a-b) - bc( c-a) + ca ( c-a) 
= b ( a-b)(a-c) - c ( a-b)(c-a) 
= ( b-c)(a-b)(a-c) 
=> P = (b-c)(a-b)(a-c) / abc 
Xét a + b +c = 0 ta được a + b = -c ; c+a = -b , b+c = -a 
Đặt Q = c/(a-b) + a/ ( b-c) + b/ ( c-a) 
Nhân ( b-c)(c-b)(a-c) . Q ta có : Q = c(c-a)(b-c) + a( a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c) 
Q = c(c-a)(b-c) + (a-b)(-b-c)(c-a) +b( a-b)(b-c) 
Q = c(c-a)(b-c) - b(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c) - c( a-b)(c-a) 
Q = c(c-a)( -a+2b-c) + b(a-2c+b)(a-b) 
Q = - 3bc(a-b) + 3bc(c-a) 
Q = 3bc ( b+c-2a) 
Q = -9abc 
Suy ra => Q = 9abc / (a-b)(b-c)(c-a) 
Vây ta nhân P*Q = ( b-c)(a-b)(a-c) / abc * 9abc / ( a-b)(b-c)(c-a) ( gạch những hạng tử giống nhau đi) 
P*Q = 9 ( đpcm) 
**************************************... 
Chúc bạn học giỏi và may mắn

ta có : các ước tự nhiên của p^4 là:1,p,p²,p³,p⁴
Giả sử tồn tại 1 số p sao cho tổng các ước của p^4 là 1 số chính phương ta có:
1+p+p²+p³+p⁴=k²
đến đây rồi biến đổi tiếp,dùng phương pháp chặn 2 đầu là ra

Chúc hok tốt

1) Đặt \(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b};Q=\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\)

Ta có:  \(P=\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)=\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)}{abc}\)

Xét \(ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)=ab\text{[}-\left(b-c\right)-\left(c-a\right)\text{]}+bc\left(b-a\right)+ca\left(c-a\right)\)

\(=bc\left(b-c\right)-ab\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)-ab\left(c-a\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(bc-ab\right)+\left(c-a\right)\left(ca-ab\right)=\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\)

Vậy \(P=\frac{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}{abc}\)

Đặt \(a-b=z;b-c=x;c-a=y\) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=a+b-2c=-c-2c=-3c\\y-z=b+c-2a=-a-2a=-3a\\z-x=c+a-2b=-b-2b=-3b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow3Q=\frac{-\left(y-z\right)}{x}+\frac{-\left(z-x\right)}{y}+\frac{-\left(x-y\right)}{z}\Rightarrow-3Q=\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z}\)

Làm tương tự như rút gọn P, ta có :

\(\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z}=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}{xyz}\)

\(\Rightarrow-3Q=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}{xyz}=\frac{\left(-3a\right)\left(-3c\right)3b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(\Rightarrow Q=\frac{-9abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(\Rightarrow PQ=\frac{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(a-b\right)}{abc}\cdot\frac{-9abc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}=9\)