Xét ∆BMI và ∆CMI, ta có:

+) BM = CM (vì IM là đường trung trực của BC)

+) \(\widehat{BMI}=\widehat{CMI}=90^0\)

+) MI cạnh chung 

Suy ra: ∆BMI = ∆CMI (c.g.c)

⇒ IB = IC (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông IHA và IKA, có: 

+) \(\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\) (AI là phân giác góc A)

+) AI cạnh huyền chung

Suy ra: ∆IHA = ∆IKA (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông IHB và IKC, có:

+) IB = IC (chứng minh trên)

+) IH = IK (chứng minh trên)

Suy ra: ∆IHB = ∆IKC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = CK (2 cạnh tương ứng)

dcm

Gọi M là trung điểm của BC

Xét hai tam giác vuông BMI và CMI có:

BM = CM (vì M là trung điểm của BC)

MI: cạnh chung

Vậy: \(\Delta BMI=\Delta CMI\left(hcgv\right)\)

Suy ra: IB = IC (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông AHI và AKI có:

AI: cạnh huyền chung

\(\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\left(gt\right)\)

Vậy: \(\Delta AHI=\Delta AKI\left(ch-gn\right)\)

Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông IHB và IKC có:

IB = IC (cmt)

IH = IK (cmt)

Vậy: \(\Delta IHB=\Delta IKC\left(ch-cgv\right)\)

Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng).

*Hình ảnh chỉ mang tính chất minh hoạ, mong bn thông cảm

Gọi đường trung trực của BC cắt BC tại M.

Xét ΔBMI và ΔCMI, ta có:

∠(BMI) = ∠(CMI) = 90o (gt)

BM = CM ( vì M là trung điểm của BC )

MI cạnh chung

Suy ra: ΔBMI = ΔCMI(c.g.c)

Suy ra: IB = IC ( hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ΔIHA và ΔIKA, ta có:

∠(HAI) = ∠(KAI) ( vì AI là tia phân giác của góc BAC).

∠(IHA) = ∠(IKA) = 90o

AI cạnh huyền chung

Suy ra: ΔIHA = ΔIKA(cạnh huyền góc nhọn)

Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ΔIHB và ΔIKC, ta có:

IB = IC ( chứng minh trên )

∠(IHB) =∠(IKC) =90o

IH = IK (chứng minh trên)

Suy ra: ΔIHB = ΔIKC(cạnh huyền.cạnh góc vuông)

Suy ra: BH = CK(hai cạnh tương ứng)

Giải:
Xét \(\Delta AHI,\Delta AKI\) có:
\(\widehat{AHI}=\widehat{AKI}=90^o\)

AI: cạnh chung

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{A}\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AHI=\Delta AKI\) ( c.huyền - g.nhọn )

\(\Rightarrow HI=KI\) ( cạnh t/ứng ) (1)

Xét \(\Delta BHI,\Delta CKI\) có:
IB = IC ( gt )

\(\widehat{BHI}=\widehat{CKI}=90^o\)

IH = IK ( theo (1) )

\(\Rightarrow\Delta BHI=\Delta CKI\) ( c.huyền - c.g.vuông)

\(\Rightarrow BH=CK\) ( cạnh t/ứng ) ( đpcm )

Vậy...

Xét ΔAHI vuông tại H và ΔAKI vuông tại K có

AI chung

góc HAI=góc KAI

Do đó: ΔAHI=ΔAKI

=>IH=IK

Xét ΔIHB vuông tại H và ΔIKC vuông tại K có

IB=IC

IH=IK

Do đó: ΔIHB=ΔIKC

=>BH=CK