Đây là chút lí thuyết về c/s tận cùng của 1 lũy thừa cơ số 3:

+, 3^4k = ...1

+, 3^(4k+1) = ....3

+, 3^(4k+2)=....9

+, 3^(4k+3) = ....7

Một số cphương thì ko có tận cùng là 2,3,7,8

Suy ra ta phân tích A như sau:

A = (1+3^4+...+3^100)+(3+3^5+...+3^101)+(3^2+3^6+...+3^102)+(3^3+...+3^99)

Suy ra c/s tận cùng của A chính là c/s tận cùng của:

1.101+3.101+9.101+7.100=2013

Suy ra A có c/s tận cùng là 3 

Suy ra A ko phải số cphương

Mỗi phần tử của A đều chia hết cho 3

nên A chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số

b, Các phần tử của A đều chia hết cho 9 ngoại trừ 3

=> A KHÔNG CHIA HẾT CHO 9. Vì A ko chia hết cho 9 mà chia hết cho 3

nên không là số chính phương

Giả sử A là số chính phương

 Ta có:
A = 3 + 3² + 3³ +...+ 3²⁰

A = 3(1 + 3 + 3² +...+ 3¹⁹)

Vì số chính phương chỉ chứa số mũ chẵn mà 3 chứa số mũ là lẻ (mũ 1)

=> 1 + 3 + 3² +...+ 3¹⁹ chia hết cho 3 (Vô lí)

Vậy A không là số chính phương

\(1+2^3+3^3+4^3+5^3\)

\(=1+8+27+64+125\)

\(=225\)

Mà: \(225=15^2\)

Vậy tổng đó là số chính phương 

 Ta có: A = 5 + 52 + 53 +....+ 5100

      ⇒�=(5+52)+(53+54)+...+(599+5100)⇒A=(5+52)+(53+54)+...+(599+5100)

       ⇒�=5(1+5)+53.(1+5)+...+599.(1+5)⇒A=5(1+5)+53.(1+5)+...+599.(1+5)

       ⇒�=5.6+53.6+...+599.6⇒A=5.6+53.6+...+599.6

              �=6.(5+53+...+599)A=6.(5+53+...+599) chia hết cho 6.

Vì A chia hết cho 6 nên A là hợp số.