Trong tam giác ABC ta có:

MP // AC và MP = AC/2.

Trong tam giác ACD ta có:

QN // AC và QN = AC/2.

Từ đó suy ra {MP // QN}

⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Do vậy hai đường chéo MN và PQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Tương tự: PR // QS và PR = QS = AB/2. Do đó tứ giác PQRS là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo RS và PQ cắt nhau tại trung điểm O của PQ và OR = OS

Vậy ba đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

a) Ta có AB // CD (gt)

Suy ra AM // CP    (1)

Lại có AM = AB/2; CP = CD/2    (2)

Từ (1) và (2) suy ra AMCP là hình bình hành

Suy ra AP // CM hay ES // FR.

Tương tự ta cũng chứng minh được tứ giác BQDN là hình bình hành nên BQ // DN. Suy ra EF // RS.

Vậy tứ giác EFRS là hình bình hành

b) Đặt PS = x. Suy ra CR = 2x (tính chất đường trung bình)

Từ đó suy ra RF = ES = AE = 2x

Suy ra: ES = 2AP/5 => SEFRS = 2SAMCP/5

Vì SAMCP = SABCD/2 nên SEFRS = SABCD/2

1) Vì ABCD là hình bình hành

=> OA=OC, OB=OD

Ta có: OM=OA/2

           OP=OC/2

Mà OA=OC => OM=OP

Cm tương tự ta được OQ=ON

Tứ giác MNPQ có OM=OP. OQ=ON

=> MNPQ là hình bình hành

2) Tứ giác ANCQ có OA=OC (cmt), OQ=ON (cmt)

Suy ra tứ giác ANCQ là hình bình hành

Tứ giác BPDM có OB=OD (cmt), OM=OP (cmt)

Suy ra tứ giác BPDM là hình bình hành

a) EFGH là hình bình hành (các cặp cạnh đối song song)

b) Tam giác CID có PJ//ID và P là trung điểm của CD.

Þ J là trung điểm của CI Þ JC = IJ

Þ AI = IJ = JC;

c) Ta có: S_ASCQ = 1 2 S_EFGH, HE =  2 5 S_ASCQ.

Þ Kẻ GK ^ CQ tại K Þ S_EFGH= GK.HE=GK. 2 5 S_ASCQ.

Þ S_EFGH =  2 5 . 1 2 S A B C D ⇒ S = E F G H 1 5 S A B C D

a: Xét ΔABD có 

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD

Do đó: MQ là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: MQ//BD và \(MQ=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBCD có 

P là trung điểm của CD

N là trung điểm của BC

Do đó: PN là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: PN//BD và \(PN=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//PN và MQ=PN

hay MNPQ là hình bình hành