\(-x\left(m-x\right)\left(x+2m\right)\left(x+m\right)+m^4\\ =x\left(x-m\right)\left(x+2m\right)\left(x+m\right)+m^4\\ =\left[x\left(x+m\right)\right]\left[\left(x+2m\right)\left(x-m\right)\right]+m^4\\ =\left(x^2+mx\right)\left(x^2+mx-2m^2\right)+m^4\\ =\left(x^2+mx\right)^2-2m^2\left(x^2+mx\right)+m^4\\ =\left(x^2+mx-m^2\right)^2\left(đpcm\right)\)

 \(M=\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(x+8\right)+16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x^2+10x+16\right)\left(x^2+10x+24\right)\)

Đặt \(x^2+10x+20=y\)ta được : 

      \(M=\left(y-4\right)\left(y+16\right)+16\)

 \(\Leftrightarrow M=y^2-16+16\)

 \(\Leftrightarrow M=y^2\)

Mà theo bài thì \(x\in Q\)nên \(y\in Q\)suy ra đpcm

xin lỗi nha ! Ở chỗ hàng thứ tư là \(M=\left(y-4\right)\left(y+4\right)+16\)mới đúng . Biết là viết sai nhưng vẫn chưa kịp sửa mong bạn thông cảm ...

Ta có: \(M=\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(x+8\right)+16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x+2\right)\left(x+8\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)+16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x^2+10x+16\right)\left(x^2+10x+24\right)+16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x^2+10x+16\right)\left(x^2+10x+16+8\right)+16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x^2+10x+16\right)^2+8\left(x^2+10+16\right)+16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x^2+10x+20\right)^2\)

Mà \(x\in Q\Leftrightarrow\left(x^2+10x+20\right)\in Q\Leftrightarrow M=\left(\frac{m}{n}\right)^2\)

Vậy \(M=\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(x+8\right)+16\) là bình phương của 1 số hữu tỉ (Đpcm)

M = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

M = [(x + 2)(x + 8)][(x + 4)(x + 6)] + 16

M = (x^2 + 2x + 8x + 16)(x^2 + 4x + 6x + 24) + 16

M = (x^2 + 10x + 16)(x^2 + 10x + 24) + 16

Đặt t = x^2 + 10x + 20

M = (t - 4)(t + 4) + 16

M = t^2 - 16 + 16 = t^2

Vậy ta có đpcm

M= (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16

=(x+2)(x+8)(x+4)(x+6)+16

=(x²+10x+16)(x²+10x+24)+16

=(x²+10x+16)(x²+10x+16+8)+16

=(x²+10x+16)²+8(x²+10x+16)+16

=(x²+10x+20)²

=>dpcm

M=(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16

=(x²+10x+16)(x²+10x+24)+16

=(x²+16+10x)(x²+10x+16+8)+16

=(x²+10x+16)²+8(x²+10x+16)+16

=(x²+10x+20)²

ĐPCM

1. \(M=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\)

\(=\left[\left(a+1\right)\left(a+4\right)\right]\left[\left(a+2\right)\left(a+3\right)\right]+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)^2+2\left(a^2+5a+4\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+5\right)^2\) 

=> Đpcm

M = ( a + 1 )( a + 2 )( a + 3 )( a + 4 ) + 1

    = [ ( a + 1 )( a + 4 ) ][ ( a + 2 )( a + 3 ) ] + 1

    = [ a² + 5a + 4 ][ a² + 5a + 6 ] + 1

Đặt t = a² + 5a + 4

M <=> t[ t + 2 ] + 1

      = t² + 2t + 1

      = ( t + 1 )²

      = ( a² + 5a + 4 + 1 )² = ( a² + 5a + 5 )² ( đpcm )

( x² + x + 1 )( x² + x + 2 ) - 12 (*)

Đặt t = x² + x + 1

(*) <=> t( t + 1 ) - 12

       = t² + t - 12

       = t² - 3t + 4t - 12

       = t( t - 3 ) + 4( t - 3 )

       = ( t - 3 )( t + 4 )

       = ( x² + x + 1 - 3 )( x² + x + 1 + 4 )

       = ( x² + x - 2 )( x² + x + 5 )

       = ( x² + 2x - x - 2 )( x² + x + 5 )

       = [ x( x + 2 ) - 1( x + 2 ) ]( x² + x + 5 )

       = ( x + 2 )( x - 1 )( x² + x + 5 )

2. Đặt  \(t=x^2+x+1\)

pt \(\Leftrightarrow t\left(t+1\right)-12\)

\(=t^2+t-12\)

\(=t^2+4t-3t-12\)

\(=t\left(t+4\right)-3\left(t+4\right)\)

\(=\left(t-3\right)\left(t+4\right)\)

Thay vào ta được \(\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x+5\right)\)

Ta có \(M=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)+1\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)+1\)

Đặt \(t=x^2+5x+5\)Khi đó

\(M=\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1=t^2-1+1=t^2=\left(x^2+5x+5\right)^2\)

Vì x nguyên nên \(x^2+5x+5\)nguyên \(\Rightarrow\left(x^2+5x+5\right)^2\)là bình phương của 1 số nguyên (đccm)

Hok tốt!!

a,M=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1

=(x²+5x+4)(x²+5x+6)

đặt x²+5x+5=a ta có

M=(a-1)(a+1)+1

=a²-1+1=a

thay a =x²+5x+5 ta có A=(x²+5x+5)² 

  vậy M là bình phương của 1 số nguyên với mọi x nguyên

vì x nguyên nên x²+5x+5 nguyên 

Em yêu ơi ! Ở đây có ít người lớp 9 lắm , em lên hh sẽ có giáo viên giảng cho 

lên Học24h 

em yêu ơi?????????????????

xưng hô vậy hả thằng kia

ai mà dám hỗn láo vậy