Áp dụng liên tiếp 1 lần BĐT AM-GM :

\(\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}}\ge3\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{xy}\cdot2\sqrt{yz}\cdot2\sqrt{zx}}{xyz}}\)

\(=3\sqrt[3]{\frac{8xyz}{xyz}}=3\sqrt[3]{8}=6\) ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Cách khác:

Giả sử \(c=max\left\{x,y,z\right\}\)

\(VT-VP=\frac{\left(x-y\right)^2\left(8z-x-y\right)+\left(x+y-2z\right)^2\left(x+y\right)}{4xyz}\ge0\)

Tuy không đẹp nhưng em nghĩ là rất hay (em chỉ cần phân tích bằng tay)

Ngoài ra có thể dùng S*O*S:

\(VT-VP=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}+\frac{\left(y-z\right)^2}{yz}+\frac{\left(z-x\right)^2}{zx}\ge0\)

Tuy nhiên nó không đẹp bằng, vì nó tới tổng của 3 bình phương lận trong khi của em chỉ cần 2 bình phương.

\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\)

\(=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\)

\(=\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\ge2.\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{x}}+2.\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}+2.\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2+2+2=6\)

                                                                                                                           đpcm

Svac-xơ 

\(VT=\left(\frac{x+y}{z}+1\right)+\left(\frac{y+z}{x}+1\right)+\left(\frac{z+x}{y}+1\right)-3\)

\(VT=\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}-3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-3\)

\(\ge\left(x+y+z\right).\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}-3=9-3=6\)

Các bạn chú ý khi chứng minh một bất đẳng thức có dấu bằng thì các bạn phải chỉ ra dấu "=" xảy ra khi nào?

(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

\(VT=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{6^2}{2\cdot6}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=2\)

p/s: Đề sai nha bạn. Dạng tổng quát của bài toán :

Cho \(a,b,c>0;a+b+c=p\). Chứng minh rằng :

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{p}{2}\)

Cm 1< M<2 thì sẽ không có giá trị là số tự nhiên..

\(\frac{x}{x+y+z+t}\)< \(\frac{x}{x+y+z}\)< \(\frac{x}{x+y}\)

Tương đương mấy cái kia cũng vậy ^_^

Sau đó cộng từng vế của BĐT ra kết quả

Nhẩm nghiệm ta thấy: a+b+c=3 \(\Rightarrow\)a=b=c=1    (1)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\(x^5+y^5+z^5+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\ge6\sqrt[6]{\frac{x^5y^5z^5}{xyz}}=6\sqrt[6]{x^4y^4z^4}\)

Hay: \(6\sqrt[6]{x^4y^4z^4}\ge6\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[6]{x^4y^4z^4}=1\Leftrightarrow x^4y^4z^4=1\Leftrightarrow xyz=1\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x=y=z=1

\(\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}\) 

\(tt:\frac{y-z}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}=\sqrt{y}-\sqrt{z};.....\) 

\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+.....-\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}=0\Rightarrow dpcm\)

Đặt \(P=\frac{x^3}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)

\(\Rightarrow P\ge x+y+x-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{4}{2}=2\)