a+b=c+d

(a+b)²=(c+d)²

a²+2ab+b²=c²+2cd+d²

ma a²+b²=c²+d²

2ab=2cd nen -2ab=-2cd

a²+b²=c²+d²

a²-2ab+b²=c²-2cd+d²

(a-b)²=(c-d)²

a-b=c-d hoac a-b=d-c

ma a+b=c+d

nen a=c hoac a=d

nen a=c;b=d hoac a=d;b=c

nen a²⁰¹³=c²⁰¹³;b²⁰¹³=d²⁰¹³ hoac a²⁰¹³=d²⁰¹³;b²⁰¹³=c²⁰¹³

Vay a²⁰¹³+b²⁰¹³=c²⁰¹³+d²⁰¹³ trong ca 2 truong hop

QUA DE

Lời giải:

$a+b=c+d$

$(a+b)^2=(c+d)^2\Rightarrow a^2+b^2+2ab=c^2+d^2+2cd$

$\Rightarrow ab=cd\Rightarrow \frac{a}{d}=\frac{c}{b}$.

Đặt $\frac{a}{d}=\frac{c}{b}=k$

$\Rightarrow a=dk; c=bk$. Khi đó:

$a+b=c+d$

$\Leftrightarrow dk+b=bk+d$

$\Leftrightarrow k(d-b)=d-b$

$\Leftrightarrow (d-b)(k-1)=0$

$\Rightarrow d=b$ hoặc $k=1$.

Nếu $b=d$ thì do $ab=cd\Rightarrow a=c$.

$\Rightarrow b^{2013}=d^{2013}; a^{2013}=c^{2013}$

$\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=c^{2013}+d^{2013}$

Nếu $k=1\Rightarrow a=d; b=c$

$\Rightarrow a^{2013}=d^{2013}; b^{2013}=c^{2013}$

$\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=c^{2013}+d^{2013}$

Lời giải:

$a+b=c+d$

$(a+b)^2=(c+d)^2\Rightarrow a^2+b^2+2ab=c^2+d^2+2cd$

$\Rightarrow ab=cd\Rightarrow \frac{a}{d}=\frac{c}{b}$.

Đặt $\frac{a}{d}=\frac{c}{b}=k$

$\Rightarrow a=dk; c=bk$. Khi đó:

$a+b=c+d$

$\Leftrightarrow dk+b=bk+d$

$\Leftrightarrow k(d-b)=d-b$

$\Leftrightarrow (d-b)(k-1)=0$

$\Rightarrow d=b$ hoặc $k=1$.

Nếu $b=d$ thì do $ab=cd\Rightarrow a=c$.

$\Rightarrow b^{2013}=d^{2013}; a^{2013}=c^{2013}$

$\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=c^{2013}+d^{2013}$

Nếu $k=1\Rightarrow a=d; b=c$

$\Rightarrow a^{2013}=d^{2013}; b^{2013}=c^{2013}$

$\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=c^{2013}+d^{2013}$

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)=>\(\left(\frac{a}{b}\right)^{2013}=\left(\frac{c}{d}\right)^{2013}\)

=>\(\frac{a^{2013}}{b^{2013}}=\frac{c^{2013}}{d^{2013}}\)=>\(\frac{2.a^{2013}}{2.b^{2013}}=\frac{5.c^{2013}}{5.d^{2013}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

\(\frac{2.a^{2013}}{2.b^{2013}}=\frac{5.c^{2013}}{5.d^{2013}}\)=\(\frac{2a^{2013}+5c^{2013}}{2b^{2013}+5d^{2013}}\)

=>\(\frac{a^{2013}}{b^{2013}}=\frac{c^{2013}}{d^{2013}}\)=\(\frac{2a^{2013}+5c^{2013}}{2b^{2013}+5d^{2013}}\)    (\(\frac{2}{2}=1;\frac{5}{5}=1\)) (1)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau :

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

=>\(\left(\frac{a}{b}\right)^{2013}=\left(\frac{c}{d}\right)^{2013}=\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^{2013}\)

=>\(\frac{a^{2013}}{b^{2013}}=\frac{c^{2013}}{d^{2013}}=\frac{\left(a+b\right)^{2013}}{\left(c+d\right)^{2013}}\) (2)

Từ (1) và (2)

=>\(\frac{2a^{2013}+5c^{2013}}{2b^{2013}+5d^{2013}}\)=\(\frac{\left(a+b\right)^{2013}}{\left(c+d\right)^{2013}}\)(đpcm)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{2a}{5b}=\frac{2c}{5d}\Rightarrow\frac{2a}{2c}=\frac{5b}{5d}\Rightarrow\frac{2a^{2013}}{2c^{2013}}=\frac{5b^{2013}}{5d^{2013}}=\frac{2a^{2013}+5b^{2013}}{2c^{2013}+5d^{2013}}\)