Question

cho a+b=c+d  và    \(a^2+b^2=c^2+d^2\)      chứng minh   \(a^{2013}+b^{2013}=c^{2013}+d^{2013}\)

Answer 1

\(a+b=c+d\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(c+d\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2+2cd+d^2\)

Vì \(a^2+b^2=c^2+d^2\) (đề bài)

Nên \(2ab=2cd\)

Tương tự do 2ab = 2cd rồi nên

 \(a^2-2ab+b^2=c^2-2cd+d^2\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=\left(c-d\right)^2\)

Nếu \(c-d=a-b\)

Và \(c+d=a+b\) (đề bài) (1)

CỘng vế theo vế ta được: \(2c=2a\)

Suy ra: a = c (2)

(1)(2) => b = d

Vậy \(a^{2013}+b^{2013}=c^{2013}+d^{2013}\) (*)

Nếu \(c-d=b-a\)

       \(c+d=a+b\)

Ta cũng cộng vế theo vế \(\Rightarrow2c=2b\)

=> b = c

=> a = d

\(\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=c^{2013}+d^{2013}\) (2*)

Kết hợp (*) và (2*) ta được điều phải chứng minh