Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.

tam giác ABC có đường trung tuyến AI = 1/2 BC nên là tam giác vuông

vậy  B A C ^ = 90 o

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên:

c) ΔOIO' vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

    IA2 = AO.AO' = 9.4 = 36

=> IA = 6 (cm)

Vậy BC = 2.IA = 2.6 = 12 (cm)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên:

O I O ' ^ = O I A ^ + O ' I A ^ = 1 2 A I B ^ + 1 2 A I C ^ = 1 2 A I B ^ + A I C ^

Vậy O I O ' ^ = 90 o

ΔOIO' vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

    IA2 = AO.AO' = 9.4 = 36

=> IA = 6 (cm)

Vậy BC = 2.IA = 2.6 = 12 (cm)

a) Ta có:

IA = IB = IC

Tam giác BAC có AI là trung tuyến và AI = BC/2

⇒ Tam giác BAC vuông tại A hay ∠BAC = 90 0

Lời giải:
Vì $IB, IA$ là 2 tiếp tuyến giao nhau của $(O)$ nên $IB=IA$

$\Rightarrow \triangle IBA$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IAB}=\widehat{IBA}(1)$

Tương tự: $ICA$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IAC}=\widehat{ICA}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{IAB}+\widehat{IAC}=\widehat{IBA}+\widehat{ICA}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{CBA}+\widehat{BCA}$

Mà $\widehat{BAC}+(\widehat{CBA}+\widehat{BCA})=180^0$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=90^0$ (đpcm)

b. $(O), (O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$ nên $O,A,O'$ thẳng hàng

$IA$ là tiếp tuyến chung của $(O), (O')$ nên $IA\perp OO'$

$BI, IA$ là 2 tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(O)$  nên $IO$ là phân giác $\widehat{BIA}$ (tính chất 2 tt cắt nhau)

Tương tự: $IO'$ là phân giác $\widehat{CIA}$

Mà $\widehat{BIA}+\widehat{CIA}=\widehat{BIC}=180^0$ nên $\widehat{OIO'}=90^0$

Tam giác $OIO'$ vuông tại $I$ có $IA\perp OO'$ nên áp dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:

$IA^2=OA.O'A=9.4=36$ 

$\Rightarrow IA=6$ (cm)

$BC=BI+IC=IA+IA=2IA=12$ (cm)

Hình vẽ:

a.

Do IA và IB là tiếp tuyến của (O), theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(IA=IB\)

Tương tự, IA và IC là tiếp tuyến của (O') \(\Rightarrow IA=IC\)

\(\Rightarrow IA=IB=IC=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^0\)

b.

Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OIB}=\widehat{OIA}=\dfrac{1}{2}\widehat{BIA}\\\widehat{O'IC}=\widehat{O'IA}=\dfrac{1}{2}\widehat{CIA}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{BIA}+\widehat{CIA}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OIO'}=\dfrac{1}{2}.\widehat{BIC}=\dfrac{1}{2}.180^0=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta OIO'\) vuông tại O

Do IA là tiếp tuyến chung tại điểm tiếp xúc ngoài của 2 đường tròn \(\Rightarrow IA\perp O'O\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OIO' với đường cao IA:

\(IA^2=OA.O'A=36\Rightarrow IA=6\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow BC=2IA=12\left(cm\right)\)