\(Q=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9\)

\(Q=n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+6n^2+12n+8\)

\(Q=3n^3+9n^2+15n+9\)

\(Q=3n\left(n^2+5\right)+9\left(n^2+1\right)\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}9\left(n^2+1\right)⋮9\\3n⋮3\\n^2+5⋮3\end{matrix}\right.\left(\forall n\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow Q=3n\left(n^2+5\right)+9\left(n^2+1\right)⋮9,\forall n\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow dpcm\)

\(B=\left(3^{n+3}-2^{n+3}+3^{n+1}-2^{n+1}\right)\)

\(=3^{n+1}\left(3^2+1\right)-2^{n+1}\left(2^2+1\right)\)

\(=3^{n+1}.10-2^{n+1}.5\)

\(=3^{n+1}.10+2^n.2.5\)

\(=3^{n+1}.10+2^n.10\)

\(=10\left(3^{n+1}+2^n\right)\)\(⋮\)\(10\)\(\left(đpcm\right)\)

\(Â=3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+3}+2^{n+1}\) 

    \(=3^n\left(3^3+3\right)+2^{n+1}\left(2^2+1\right)\) 

    \(=3^n.30+2^{n+1}.\left(2^2+2\right).\frac{1}{2}\) 

     \(=3^n.30+2^{n+1}.6.\frac{1}{2}\) 

Mà \(3^n.30⋮6;2^{n+1}.6.\frac{1}{2}⋮6\) 

\(\Rightarrow3^n.30+2^{n+1}.6.\frac{1}{2}⋮6\) 

\(\Rightarrow A⋮6\left(đpcm\right)\)

thích bé chanh à

Để chứng minh rằng tích ab chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng một trong hai số a hoặc b chia hết cho 2 và một trong hai số a hoặc b chia hết cho 3.

Giả sử a chia hết cho 2, khi đó a có thể là 2, 4, 6 hoặc 8. Ta sẽ xét từng trường hợp:

Nếu a = 2, thì n = 10a + b = 20 + b. Vì n > 3, nên b > 0. Khi đó, tích ab = 2b chia hết cho 2.

Nếu a = 4, thì n = 10a + b = 40 + b. Vì n > 3, nên b > -37. Khi đó, tích ab = 4b chia hết cho 2.

Nếu a = 6, thì n = 10a + b = 60 + b. Vì n > 3, nên b > -57. Khi đó, tích ab = 6b chia hết cho 2.

Nếu a = 8, thì n = 10a + b = 80 + b. Vì n > 3, nên b > -77. Khi đó, tích ab = 8b chia hết cho 2.

Ta đã chứng minh được rằng nếu a chia hết cho 2, thì tích ab chia hết cho 2.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng một trong hai số a hoặc b chia hết cho 3. Ta có thể sử dụng phương pháp tương tự như trên để chứng minh điều này.

Vì tích ab chia hết cho cả 2 và 3, nên tích ab chia hết cho 6.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu n = 10a + b (a, b ∈ N, 0 < a < 10), thì tích ab chia hết cho 6.

Rảnh à?

Đặt 

\(A_k=1+2+3+....+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)

\(A_{k-1}=1+2+3+....+\left(k-1\right)=\frac{k\left(k-1\right)}{2}\)

Ta có:

\(A_k^2-A_{k-1}^2=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{2}-\frac{\left(k-1\right)^2k^2}{2}=\frac{k^2}{2}\left(k^2+2k+1-k^2+2k-1\right)=k^3\)

Khi đó:

\(1^3=A_1^2\)

\(2^3=A_2^2-A_1^2\)

\(...........\)

\(n^3=A_n^2-A_{n-1}^2\)

Khi đó:

\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=A_n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{1^3+2^3+......+n^3}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

=> ĐPCM

Cách khác:

Ta sẽ đi chứng minh \(1^3+2^3+3^3+....+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Với n=1 thì mệnh đề trên đúng

Giả sử mệnh đề trên đúng với n=k ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1

Ta có:

\(A_k=1^3+2^3+3^3+.....+k^3=\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2\)

Ta cần chứng minh:

\(A_{k+1}=1^3+2^3+3^3+.....+\left(k+1\right)^3=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)

Thật vậy !

\(A_{k+1}=1^3+2^3+3^3+.....+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3\)

\(=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right)\)

\(=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)

Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.

thanks

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 ... + n(n + 1)(n + 2)

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + ... + n(n + 1)(n + 2).4

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5.(6 - 2)+ ... + n(n + 1)(n + 2)[(n + 3) - (n - 1)]

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - (n-1)n(n+1)(n+2)

4A = n(n+1)(n+2)(n+3)

A = n(n + 1)(n+2)(n + 3) : 4

1.A = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁵⁹ + 2⁶⁰

Xét .dãy số: 1; 2; 3; 4; .... 59; 60 Dãy số này có 60 số hạng vậy A có 60 hạng tử.

vì 60 : 2 = 30 nên nhóm hai số hạng liên tiếp của A vào một nhóm thì ta được:

A = (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) +...+ (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2.(1 + 2) + 2³.(1 +2) +...+ 2⁵⁹.(1 +2)

A =2.3 + 2³.3  + ... + 2⁵⁹.3

A =3.( 2 + 2³+...+ 2⁵⁹)

Vì 3 ⋮ 3 nên A = 3.(2 + 2³ + ... + 2⁵⁹)⋮3 (đpcm)

áp dụng công thức là ra :))))

2, M = 3ⁿ⁺³ + 3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺² ⋮ 6

   M = 3ⁿ⁺¹.(3² + 1) + 2ⁿ⁺².(2 + 1) 

    M = 3ⁿ.3.(9 + 1) + 2ⁿ⁺¹.2 . 3

    M = 3ⁿ.30 + 2ⁿ⁺¹.6

   M = 6.(3ⁿ.5 + 2ⁿ⁺¹)

   Vì 6 ⋮ 6 nên M = 6.(3ⁿ.5+ 2ⁿ⁺¹) ⋮ 6 (đpcm)

Bài này bạn chỉ cần chuyển vế biến đổi thôi là được , mình làm mẫu câu 2) :

\(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2n+b^2m}{mn}-\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(a^2n+b^2m\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right).mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2mn+\left(bm\right)^2+\left(an\right)^2+b^2mn-a^2mn-2abmn-b^2mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(bm-an\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\) ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow bm=an\)

Câu 3) áp dụng câu 2) để chứng minh dễ dàng hơn, ghép cặp 2 .

a,thay n=1 vào thì sẽ bằng 24 ko chia hết cho 10 nên đề sai

b, \(5^n\left(5^2+5^1+1\right)=5^n.31\)

\(\left(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\right)\)

\(=3^n.3^2-2^n.2^2+3^n-2^n\)

\(=\left(3^n.9+3^n\right)-\left(2^n.4+2^n\right)\)

\(=3^n\left(9+1\right)-2^n\left(4+1\right)\)

\(=3^n\left(9+1\right)-2^{n-1}.2\left(4+1\right)\)

\(=3^n.10-2^{n-1}.10\)

\(=10\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\left(ĐPCM\right)\)