\(9n^2+9n-8=(3n)^2+6n+1+3n-9 = (3n+1)^2+(3n-9) để là số chính phương thì 3n-9=0=> n=3 \)

\(n^2+2002=k^2\Rightarrow k^2-n^2=2002\)

\(\Rightarrow\left(k-n\right)\left(k+n\right)=2002\)

Do \(\left(k-n\right)+\left(k+n\right)=2k\) chẵn nên \(\left(k-n\right)\) và \(\left(k+n\right)\) cùng chẵn

Bạn chỉ cần xét các cặp ước chẵn của 2002

Ta thấy n² chia cho 4 dư 0 hoặc 1 nên n² + 2002 chia cho 4 dư 2 hoặc 3.

Do đó n² + 2002 không thể là số chính phương.

Ta có:

          n^2+2002=m^2  (m là stn)

           m^2 - n^2 = 2002

           (m-n).(m+n)=2002

Nếu m, n cùng tính chẵn lẻ thì m-n và m+n cùng chẵn nên m-n và m+n đều chia hết cho 2 

=> (m-n).(m+n) chia hết cho 4

Mà 2002 không chia hết cho 4 => Loại

Nếu m, n ko cùng tính chẵn lẻ thì m-n và m+n đều lẻ => (m-n).(m+n) là số lẻ

Mà 2002 là chẵn => Loại

Vậy ko tồn tại n thỏa mãn đề bài

**** CHO MIH NHÉ

Đặt n^2 + 2002 = a^2

=> 2002 = a^2 - n^2 

=> 2002 = ( a - n )(a + n ) 

a)Giả sử tồn tại số nguyên n sao cho \(n^2+2002\)là số chình phương.

\(\Rightarrow n^2+2002=a^2\left(a\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow a^2-n^2=2002\)

\(\Rightarrow a^2+an-an-n^2=2002\)

\(\Rightarrow a\left(a+n\right)-n\left(a+n\right)=2002\)

\(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)=2002\)

Mà \(2002⋮2\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}\left(1\right)}\)

Ta có : \(\left(a+n\right)-\left(a-n\right)=-2n\)

\(\Rightarrow\)\(a-n\)và \(a+n\)có cùng tính chẵn lẻ \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\): \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}}\)

Vì 2 là số nguyên tố \(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)⋮4\)

mà 2002 không chia hết cho 4

\(\Rightarrow\)Mâu thuẫn

\(\Rightarrow\)Điều giả sử là sai

\(\Rightarrow\)Không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài