Chọn D

Gọi H là hình chiếu của B trên mặt phẳng (P) khi đó ta có BH là khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P). Ta luôn có BH ≤ AB do đó khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) lớn nhất khi H ≡ A, khi đó  là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) đi qua A (-1; 2; 4) và có véc tơ pháp tuyến  là x - y + z - 1 = 0

 Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) là:

Chọn C

a: 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

-2x+1=x-5

=>-2x-x=-5-1

=>-3x=-6

=>x=2

Thay x=2 vào y=x-5, ta được:

\(y=2-5=-3\)

Vậy: (d1) cắt (d2) tại A(2;-3)

c: (d1): y=x-5

=>x-y-5=0

Khoảng cách từ O(0;0) đến (d1) là:

\(d\left(O;\left(d1\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot1+0\cdot\left(-1\right)-5\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}\)

(d2): y=-2x+1

=>y+2x-1=0

=>2x+y-1=0

Khoảng cách từ O đến (d2) là:

\(d\left(O;\left(d2\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot2+0\cdot1-1\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

a) Xét đường thẳng d qua M và d ⊥ (α).

Khi đó H chính là giao điểm của d và  (α). 

Vectơ (1 ; 1 ; 1) là vectơ pháp tuyến của (α) nên  là vectơ chỉ phương của d.

Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng:    .

Thay tọa độ x ; y ; z của phương trình trên vào phương trình xác định (α), ta có:

3t + 6 = 0 => t = -2 => H(-1 ; 2 ; 0).

b) Gọi M'(x ; y ; z) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (α), thì hình chiếu vuông góc H của M xuống (α) chính là trung điểm của MM'.

Ta có: 

 => x = -3 ;

    => y = 0 ;

    => z = -2.

Vậy M'(-3 ; 0 ;2).

c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) bằng 2 cách sau:

Cách 1: Áp dụng công thức ta có:

.

Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH:

      d(M,(α) )= MH = .

D địa trung hải

a) Xét đường thẳng d qua M và d ⊥ (α).

Khi đó H chính là giao điểm của d và  (α). 

Vectơ (1 ; 1 ; 1) là vectơ pháp tuyến của (α) nên  là vectơ chỉ phương của d.

Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng:    .

Thay tọa độ x ; y ; z của phương trình trên vào phương trình xác định (α), ta có:

3t + 6 = 0 => t = -2 => H(-1 ; 2 ; 0).

b) Gọi M'(x ; y ; z) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (α), thì hình chiếu vuông góc H của M xuống (α) chính là trung điểm của MM'.

Ta có: 

 => x = -3 ;

    => y = 0 ;

    => z = -2.

Vậy M'(-3 ; 0 ;2).

c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) bằng 2 cách sau:

Cách 1: Áp dụng công thức ta có:

.

Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH:

      d(M,(α) )= MH = .

Chọn D

a) Vì A, B thuộc (P) nên:

x A = − 1 ⇒ y A = 1 2 ⋅ - 1 2 = 1 2 x B = 2 ⇒ y B = 1 2 ⋅ 2 2 = 2 ⇒ A − 1 ; 1 2  ,  B ( 2 ; 2 )

b) Gọi phương trình đường thẳng (d) là y = ax + b.

Ta có hệ phương trình:

− a + b = 1 2 2 a + b = 2 ⇔ 3 a = 3 2 2 a + b = 2 ⇔ a = 1 2 b = 1

Vậy (d):  y = 1 2 x + 1 .

c) (d) cắt trục Oy tại điểm C(0; 1) và cắt trục Ox tại điểm D(– 2; 0)

=>  OC = 1 và OD = 2

Gọi h là khoảng cách từ O tới (d).

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào ∆  vuông OCD, ta có:

1 h 2 = 1 O C 2 + 1 O D 2 = 1 1 2 + 1 2 2 = 5 4 ⇒ h = 2 5 5

Vậy khoảng cách từ gốc O tới (d) là  2 5 5 .