Đáp án D

Đặt t = x 2 , t ≥ 0 . Ta được phương trình: t 2 − 20 t + m − 1 2 = 0 (2).

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương t 1 , t 2  phân biệt 0 < t 1 < t 2 .

⇔ Δ ' > 0 S > 0 P > 0 ⇔ − m 2 + 2 m + 99 > 0 20 > 0 m − 1 2 > 0 ⇔ − 9 < m < 11 m ≠ 1    ∗ .

Bốn nghiệm của phương trình (1) lập thành cấp số cộng là:  − t 2 , − t 1 , t 1 , t 2 .

Ta có: − t 2 + t 1 = − 2 t 1 − t 1 + t 2 = 2 t 1 ⇔ 3 t 1 = t 2 ⇔ t 2 = 9 t 1 .

Theo định lý Viet, ta có:  t 2 = 9 t 1 t 1 + t 2 = 20 t 1 . t 2 = m − 1 2 ⇔ t 1 = 2 t 2 = 18 m − 1 2 = 36

Suy ra: m = 7  hoặc m = - 5  (thỏa (∗)).

Vậy tổng tất cả các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là: 7−5=2.

Ta có x⁴ + x² + 1 = y²

Lại có x⁴ + 2x² + 1 ≥ x⁴ + x² + 1 hay (x² + 1)² ≥ x⁴ + x² + 1

=> (x² + 1)² ≥ y² (1)

Lại có x⁴ + x² + 1 > x⁴ => y² > x⁴ (2)

Từ (1) và (2), ta có x⁴ < y² ≤ (x² + 1)²

<=> y² = (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1

Mà x⁴ + x² + 1 = y² => x⁴ + 2x² + 1 = x⁴ + x² + 1

<=> x² = 0 <=> x = 0

Thay vào, ta có 1 = y² <=> y ∈ {-1,1}

Vậy ...

1) \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=10\\5x-3y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10x+5y=50\\10x-6y=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}11y=44\\2x+y=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=4\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy hpt có nghiệm (x;y) = (3;4)

2)

a) 3x² - 2x - 1 = 0

\(\Leftrightarrow3x^2-3x+x-1=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có nghiệm x = 1 hoặc x = 3

b) Đặt x² = t (t \(\ge\) 0)

Pt trở thành: t² - 20t + 4 = 0

\(\Delta\) = (-20)² - 4.1.4 = 400 - 16 = 384

=> pt có 2 nghiệm phân biệt t₁ = \(\dfrac{20+8\sqrt{6}}{2}=10+4\sqrt{6}\)

t₂ = \(\dfrac{20-8\sqrt{6}}{2}=10-4\sqrt{6}\)

=> x₁ = \(\sqrt{10+4\sqrt{6}}=\sqrt{\left(2+\sqrt{6}\right)^2}=2+\sqrt{6}\)

x₂ = \(2-\sqrt{6}\)

\(3x^2+4x+1=3x^2+3x+x+1=\left(x+1\right)\left(3x+1\right)\)