Ta có : \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)

=> \(1:\frac{a}{b+c}=1:\frac{b}{a+c}=1:\frac{c}{a+b}\)

=> \(\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=\frac{b+c+a+c+a+b}{a+b+c}=2\)

Khi đó :  P = \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}.3=2.3=6\) 

đúng rồi bài toán thi học kì đó

Vì vai trò bình đẳng của các ẩn  \(a,b,c\)  là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử:

\(2\ge c>b>a\ge0\) \(\left(\alpha\right)\) (do  \(a,b,c\)  đôi một khác nhau nên cũng không đồng thời bằng nhau)

Áp dụng bđt  \(AM-GM\)  cho từng bộ số gồm có các số không âm, ta có:

\(\left(i\right)\)  Với  \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}>0;\)  \(\left[-\left(a-b\right)\right]>0\)\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\left[-\left(a-b\right)\right]+\left[-\left(a-b\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}.\left[-\left(a-b\right)\right]\left[-\left(a-b\right)\right]}=3\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)\)  \(\left(1\right)\)

\(\left(ii\right)\) Với  \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}>0;\) \(\left[-\left(b-c\right)\right]>0\)

 \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\left[-\left(b-c\right)\right]+\left[-\left(b-c\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b-c\right)^2}.\left[-\left(b-c\right)\right]\left[-\left(b-c\right)\right]}=3\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge3-2\left(c-b\right)\)  \(\left(2\right)\)

\(\left(iii\right)\)  Với  \(\frac{1}{\left(c-a\right)^2}>0;\)  \(\frac{c-a}{16}>0\)

\(\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c-a}{8}+\frac{c-a}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(c-a\right)^2}.\frac{\left(c-a\right)}{8}.\frac{\left(c-a\right)}{8}}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế ba bất đẳng thức  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và   \(\left(3\right)\)  , ta được:

\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)+3-2\left(c-b\right)+\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}\)

nên   \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}-\frac{9\left(c-a\right)}{4}=\frac{27}{4}+\frac{9\left(a-c\right)}{4}\)

Mặt khác, từ  \(\left(\alpha\right)\)  ta suy ra được:  \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\2\ge c\end{cases}}\)

nên   \(a+2\ge c\) hay nói cách khác  \(a-c\ge-2\)

Do đó,  \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}+\frac{9.\left(-2\right)}{4}=\frac{9}{4}\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(\hept{\begin{cases}a=0\\b=1\\c=2\end{cases}}\)  (thỏa mãn  \(\left(\alpha\right)\)  )

Vì vai trò bình đẳng của các ẩn  \(a,b,c\)  là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử:

\(2\ge c>b>a\ge0\) \(\left(\alpha\right)\) (do  \(a,b,c\)  đôi một khác nhau nên cũng không đồng thời bằng nhau)

Áp dụng bđt  \(AM-GM\)  cho từng bộ số gồm có các số không âm, ta có:

\(\left(i\right)\)  Với  \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}>0;\)  \(\left[-\left(a-b\right)\right]>0\)\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\left[-\left(a-b\right)\right]+\left[-\left(a-b\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}.\left[-\left(a-b\right)\right]\left[-\left(a-b\right)\right]}=3\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)\)  \(\left(1\right)\)

\(\left(ii\right)\) Với  \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}>0;\) \(\left[-\left(b-c\right)\right]>0\)

 \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\left[-\left(b-c\right)\right]+\left[-\left(b-c\right)\right]\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b-c\right)^2}.\left[-\left(b-c\right)\right]\left[-\left(b-c\right)\right]}=3\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge3-2\left(c-b\right)\)  \(\left(2\right)\)

\(\left(iii\right)\)  Với  \(\frac{1}{\left(c-a\right)^2}>0;\)  \(\frac{c-a}{16}>0\)

\(\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c-a}{8}+\frac{c-a}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(c-a\right)^2}.\frac{\left(c-a\right)}{8}.\frac{\left(c-a\right)}{8}}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\)  \(\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế ba bất đẳng thức  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và   \(\left(3\right)\)  , ta được:

\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge3-2\left(b-a\right)+3-2\left(c-b\right)+\frac{3}{4}-\frac{c-a}{4}\)

nên   \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}-\frac{9\left(c-a\right)}{4}=\frac{27}{4}+\frac{9\left(a-c\right)}{4}\)

Mặt khác, từ  \(\left(\alpha\right)\)  ta suy ra được:  \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\2\ge c\end{cases}}\)

nên   \(a+2\ge c\) hay nói cách khác  \(a-c\ge-2\)

Do đó,  \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{27}{4}+\frac{9.\left(-2\right)}{4}=\frac{9}{4}\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(a=0;b=1;c=2\)  (thỏa mãn  \(\left(\alpha\right)\)  )

Ta có: 

\(a^2-b=b^2-c=c^2-a\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2=b-c\\b^2-c^2=c-a\\c^2-a^2=a-b\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=\frac{b-c}{a-b}\\b+c=\frac{c-a}{b-c}\\c+a=\frac{a-b}{c-a}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\frac{b-c}{a-b}.\frac{c-a}{b-c}.\frac{a-b}{c-a}=1\)

tớ ko bít. Giúp với. Nhé

Áp dụng bất đẳng thức:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

ta có:

\(A=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{9}{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}\)

Đến đâu Cm dưới mẫu <4 nữa là đc

Tích nha

Dễ vcl giải

Có a²(b+c)-b²(a+c)=2013-2013=0

a²b+a²c-b²a-b²c=0

a²b-b²a+a²c-b²c=0

ab(a-b)+c(a²-b²)=ab(a-b)+c(a-b)(a+b)=0

(a-b)[ab+c(a+b)]=0

Suy ra 1 trong 2 số =0 mà a và b khác nhau nên ab+c(a+b)=0 

Suy ra ab và c(a+b) là 2 số đối suy ra ab×c và c×c(a+b) là 2 số đối suy ra abc và c²(a+b) là 2 số đối

=>c²(a+b)-abc=0

<=>c²(a+b)=-abc

Lại có ab + c(a+b)=0 =>          ab + ac + cb =0 

<=> a(b+c)+cb=0

<=> a²(b+c) + abc =0

=>abc =0-2013=-2013=> abc = -2013

Nên c²(a+b)=-(abc)=-(-2013)=2013 .

Vậy c²(a+b)=2023 ezzzz 

Bài này dễ lớp 6 mà