Chương 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Võ Thị Kim Dung

Cho các số thực a,b,c đôi một khác nhau thõa mãn \(0\le a;b;c\le2\).

CMR : \(\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\dfrac{9}{4}\)

Akai Haruma
25 tháng 11 2018 lúc 13:27

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a>b> c\). Khi đó \(a-b>0; b-c> 0; c-a< 0\)

Áp dụng BĐT AM-GM:\(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{(a-b)(b-c)}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM: \((a-b)(b-c)\leq \left(\frac{a-b+b-c}{2}\right)^2=\frac{(c-a)^2}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{\frac{(c-a)^2}{4}}=\frac{8}{(c-a)^2}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{(c-a)^2} \)

\(0\leq c< a\leq 2\Rightarrow 0< a-c\leq 2\Rightarrow (c-a)^2=(a-c)^2\leq 4\)

\(\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{(c-a)^2} \geq \frac{9}{4}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và hoán vị.


Các câu hỏi tương tự
Ly Po
Xem chi tiết
My Lee
Xem chi tiết
Thanh Tú Võ
Xem chi tiết
Quỳnh Anh
Xem chi tiết
Đặng Nguyễn Khánh Uyên
Xem chi tiết
Tú Nguyễn
Xem chi tiết
Trần Hữu Tuyển
Xem chi tiết
Monkey D .Luffy
Xem chi tiết
Ái Nữ
Xem chi tiết