Với \(n=0\Rightarrow B=100\left(hs\right)\)

Với  \(n\ne0\) ta có:

\(B=\left(n^2+10\right)^2-36n^2\)

\(=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Để B là số nguyên tố thì \(n^2-6n+10\) hoặc \(n^2+6n+10\) bằng 1.

Mà \(n\in N;n\ne0\Rightarrow n^2-6n+10< n^2+6n+10\)

\(\Rightarrow n^2-6n+10=1\Rightarrow n^2-6n+9=0\Rightarrow\left(n-3\right)^2=0\Rightarrow n=3\)

Thử n=3 vào B ta được:

\(B=\left(3^2+10\right)^2-36\cdot3^2=19^2-324=37\) là số nguyên tố (TM)

Vậy \(n=3\)

Đặt: \(A=\left(n^2+10\right)^2-36n^2\)

\(=\left(n^2+10\right)^2-\left(6n\right)^2\)

\(=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)

Vì \(n\in N\Rightarrow n^2+6n+10\ge10\)

Điều kiện cần để A là số nguyên tố:

     \(n^2-6n+10=1\)

\(\Rightarrow n^2-6n+9=0\)

\(\Rightarrow\left(n-3\right)^2=0\Rightarrow n=3\)

Ta phải thử lại:

\(A=\left(n^2+10\right)^2-36n^2=\left(3^2+10\right)^2-36.3^2=19^2-324=37\)

Vì 37 là số nguyên tố nên n = 3 thỏa mãn đề bài.

Bài 2

Xét k=0 thì 31k=0(loại)

Xét k=1 thì 31k=31(chọn)

Xét k>1 thì 31k có 2 ước trở lên(loại)

Vậy k=1

k=1

n=2,3,5

Ta có:\(P=n^3-n^2+7n+10\)

\(=n^3-2n^2+n^2-2n-5n+10\)

\(=n^2\left(n-2\right)+n\left(n-2\right)-5\left(n-2\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\)

Vì P là số nguyên tố nên 

\(n-2=1\Rightarrow n=3\)(nhận)

\(n^2+n-5=1\)\(\Rightarrow n^2+n-6=0\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n-2\right)=0\Rightarrow n=-3\left(l\right);n=2\left(n\right)\)

Ta có:\(\hept{\begin{cases}n=3\Rightarrow P=7\left(n\right)\\n=2\Rightarrow P=0\left(l\right)\end{cases}}\)

Vậy n=3

\(P=n^3-n^2-7n+10=\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)\)

- Với \(n-2< 0\Leftrightarrow n< 2\).

Bằng cách thử trực tiếp \(n=0,n=1\)thu được \(n=1\)thỏa mãn \(P=3\)là số nguyên tố. 

- Với \(n-2\ge0\)thì \(n-2\ge0,n^2+n-5>0\)khi đó \(P\)có hai ước tự nhiên là \(n-2,n^2+n-5\).

Để \(P\)là số nguyên tố thì: 

\(\orbr{\begin{cases}n-2=1\\n^2+n-5=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=3\\n=2,n=-3\end{cases}}\)

Thử lại các giá trị trên thu được \(n=3\)thì \(P=7\)thỏa mãn. 

Vậy \(n=1\)hoặc \(n=3\). 

Đặt biểu thức n³ – n²– 7n + 10 bằng A 

A= n³ – 2n² + n² – 2n – 5n +10

A= (n – 2)(n² + n – 5).
 Để n³-n²-7n+10 là số nguyên tố thì  

* n = 3
=>  A = 7.
* n = 2
=>A = 0 (loại).
Vậy n = 3 là giá trị cần tìm.

Đặt \(N=n^2+3n+2=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow N\) có ít nhất 2 ước tự nhiên là \(n+1\) và \(n+2\)

\(\Rightarrow N\) là số nguyên tố khi \(\left\{{}\begin{matrix}n+1=1\\n+2\text{ là số nguyên tố}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n=0\)

n^2+3n là SNT tương đương với n(n+3)

Ta có: n+3-n=3 là số lẻ nên n và n+3 khác t/cl do đó luôn tồn tại 1 SC, n(n+3) chia hét cho 2

Để n(n+3) Là SNT thì nó phải = 2 . xét n= 0 thì ko thỏa mãn đề bài . Mà n>= 1=> n(n+3)>=4 và>2

=> n thuộc tập rỗng