đề này thiếu r` bn viết lại đi mai mk lm cho

\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{ac+bc+c^2+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)

\(tt\Rightarrow2\text{ lần biểu thức}=2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}+2\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+2\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)

\(\le\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\left(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\right)=3\Rightarrow dpcm\)

Hình như thiếu điều kiện \(a,b,c>0\)

Áp dụng BĐT Cosi:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}}\)

\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: 

\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Bài 1 : Bạn tự vẽ hinh 

a,

I là trung điểm AC và IN//AB nên IN là đường trung bình trong tam giác ABC

Suy ra N là trung điểm BC

I là trung điểm AC và IM//BC nên IM là đường trung bình trong tam giác ABC

Suy ra M là trung điểm BA

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AC và MN=1/2 AC=5 (cm) 

b,

MN// AC nên AMNC là hình thang

Mặt khác AM=1/2AB=1/2BC=CN

MN<AC nên AMNC là hình thang cân

IN //AB hay IN//BM

IM//BC hay IM//BN nên IMBN là hình bình hành

Mặt khác ABC cân tại B nên BI vuông góc với AC hay BI vuông góc với MN

Do đó IMBN là hình thoi

c,

IMBN là hình thoi nên O là trung điểm IB và MN

Tứ giác BICK có hai đường chéo BC và IK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên BICK là hình bình hành

Do đó BK//IC//AI và BK=IC=IA

hay ABKI là hình bình hành

O là trung điểm của BI nên O cũng là trung điểm AK

Do vậy A,O,K thẳng hàng

a) Ta có I là trung điểm AC; IN//AB 

=> IN là đường trung bình \(\Delta\)ABC

=> N là trung điểm BC

Cmtt: M là trung điểm AB

=> MN là đường trung bình \(\Delta\)ABC

=> MN//AC và \(MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot10=5\left(cm\right)\)

b) Tứ giác AMNC có: MN//AC
=> Tứ giác AMNC là hình thang

Lại có: \(AM=\frac{1}{2}AB\)(do M là trung điểm AB)

\(AN=\frac{1}{2}CB\)(Do N là trung điểm AC)

\(AB=\frac{1}{2}CB\)(do \(\Delta\)ABC cân tại B)

=> AMNC là hình thang cân

Tứ giác IMBN có: IM//BN và IN//BM

=> Tứ giác IMBN là hình bình hành

Lại có MB=BN\(\left(=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC\right)\)

=> IMBN là hình thoi

c) N là trung điểm IK và O là trung điểm BI

=> ON là đường trung bình của \(\Delta\)IBK

=> ON//BK và ON//AI

=> BK//AI

IN//AB => IK//AB

=> Tứ giác ABKI là hình bình hành

Có D là trung điểm BI

=> O là trung điểm của AK

=> O;A;K thẳng hàng

Bài 2 : 

ÁP dụng 

\(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}=\frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)}{x+1-x}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\)

Ta có : 

\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+....+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(=\sqrt{100}-1=9\)

Xét \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\) = \(\sqrt{\left(a^2+2ab+b^2\right)-3ab}\) = \(\sqrt{\left(a+b\right)^2-3ab}\)

     >= \(\sqrt{\left(a+b\right)^2-\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}\)( bđt ab <= (a+b)^2/4) = 1/2 (a+b)

Tương tự căn (b^2-bc+c^2) >= 1/2(b+c) ; (c^2-ca+a^2) >= 1/2 (c+a)

=> B >= 1/2 . (a+b+b+c+c+a) = 1/2 . 2 . (a+b+c) = 1 => ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/3

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow HB=3\cdot HC\)

Ta có: \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow3\cdot HC=12\)

hay HC=4(cm)

\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{4}{3}\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow BC=\dfrac{16}{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\dfrac{8}{3}\left(cm\right)\\AC=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay BC=6(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{C}=30^0\)

hay \(\widehat{B}=60^0\)