ab/a+b=bc/b+c

=>ab(b+c)=(a+b)bc

=>ab²+abc=abc+b²c

=>ab²=b²c

=>ab=bc

=>a/b=b/c

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\Rightarrow\frac{ab}{bc}=\frac{a+b}{b+c}=\frac{a}{c}\)

\(\Rightarrow ab.\left(b+c\right)=bc.\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow ab^2+abc=abc+b^2c\)

\(\Rightarrow ab^2=b^2c\)

\(\Rightarrow ab=bc\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\left(đpcm\right)\)

a.

\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge2abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2a^2bc+c^2a^2\right)+\left(a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc^2+a^2c^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-ca\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ca\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

b.

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (đúng theo câu a đã chứng minh)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM vào biều thức trên, ta có:

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(abc\right)^3}{abc}}=3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\) (1)

\(a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}\ge3\sqrt[3]{abc\sqrt{\left(abc\right)^2}}=3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM

ai giúp mk với

Bất đẳng thức tương đương với

\(\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{c+a}+b+\frac{c^2}{a+b}+c\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}+a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\frac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}+a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}+1\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right]\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Ta chứng minh \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{a+b+c}{2\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}+1\left(2\right)\)

Đặt \(t=\frac{a+b+c}{\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}>0\),từ BĐT \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Ta được \(t^2\ge0\Rightarrow t>1\).BĐT (2) viết lại thành 

\(\frac{3t^2}{2}\ge\frac{t}{2}+1\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(3t+2\right)\ge0\) luôn đúng

=>(2) được chứng minh

Từ (1) và (2) => điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

áp dụng BĐT bunhiacopxki