Gọi I là trung điểm DC => O Ià tâm đường tròn đường kính CD

Ta có: ( O ) và ( A ) cắt nhau tại D và M 

=> DM vuông góc AO

Xét tam giác ADO có: ^ODM = ^DAM ( cùng phụ ^ MDA )

Gọi I là giao điểm của DM và BC

Xét 2 tam giác vuông ADO và DCI có:

^ CDI = ^DAO ( vì ^ODM = ^DAM )

DA = CD ( ABCD là hình vuông )

=> Tam giác ADO =  tam giác DCI 

=> DO = CI 

mà DO = 1/2 DC = 1/2 BC

=> CI = 1/2 BC

=> I là trung điểm BC

Vậy ....

a) Ta có CA,CM là các tiếp tuyến từ C tới đường tròn (O) => OC là phân giác của ^AOM => ^MOC = ^AOC

Ta thấy ^CMD là góc chắn nửa đường tròn (I) => ^CMD = 90⁰ => ^CMD + ^CMO = 180⁰

=> 3 điểm D,M,O thẳng hàng => ^DOC = ^MOC. Mà ^MOC = ^AOC nên ^DOC = ^AOC

Hai đường tròn (O),(I) cùng tiếp xúc với a => CD // AB (Cùng vuông góc với a)

Do đó ^AOC = ^DCO (So le trong) => ^DOC = ^DCO => \(\Delta\)ODC cân tại D

Lại có DK vuông góc OC tại K (Vì ^DKC chắn nửa đường tròn) => K là trung điểm OC (đpcm).

b) Gọi đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt BC,AB lần lượt tại H,S.

Dễ thấy điểm H nằm trên đường tròn (I) => ^HMO = ^HCD = ^HBO (Do CD // AB)

=> Tứ giác HOBM nội tiếp => ^OHB = ^OMB => 90⁰ - ^OHB = 90⁰ - ^OMB

=> ^OHS = 90⁰ - ^ABM = ^MAB = ^ACO (Cùng phụ ^CAM)    (1)

Ta lại có ^SHK = ^DCK = ^SOK (Vì AB // CD) => Tứ giác KHOS nội tiếp => ^OHS = ^OKS (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^ACO = ^OKS => KS // AC. Xét \(\Delta\)CAO có:

K là trung điểm cạnh OC (cmt), KS // AC (cmt), S thuộc OA => S là trung điểm cạnh OA

Do 2 điểm O,A cố định nên S cũng cố định. Mà đường thẳng qua D vuông góc BC cắt OA tại S

Nên ta có ĐPCM.

Ta có: ^BIC = 90o (do chắn đk BC) 
mà ^OMD = 90o (do DE _|_AB) 
=> tg BDMI nội tiếp 

Do OA _|_DE tại M => MD=ME (đường kính vuông góc với dây chia đôi dây) 
=> ADBE là hình thoi vì có 2 đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

 Ta có ^ADC =90o (do chắn đường kính AC) 
=> AD _|_CD 
mà BI _|_CD (cm trên) 
=> BI//AD (1*) 

Do ADBE là hình thoi => BE//AD (2*) 
Từ (1*, 2*) => I, B, E thẳng hàng 
 

a) Vì TO là đường kính \(\Rightarrow\angle TMO=90\) mà \(M\in\left(O\right)\Rightarrow TM\) là tiếp tuyến của (O)

b) Xét \(\Delta TMC\) và \(\Delta TDM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MTDchung\\\angle TMC=\angle TDM\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TMD\sim\Delta TCM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{TC}{TM}=\dfrac{TM}{TD}\Rightarrow TC.TD=TM^2\)

c) Vì đường tròn đường kính TO có tâm I và đường tròn (O) cắt nhau tại M và N \(\Rightarrow\) IO là trung trực của MN \(\Rightarrow MN\bot TO\)

mà \(\Delta TMO\) vuông tại M \(\Rightarrow TM^2=TE.TO\) (hệ thức lượng)

mà \(TC.TD=TM^2\Rightarrow TC.TD=TE.TO\Rightarrow\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\)

Xét \(\Delta TEC\) và \(\Delta TDO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle OTDchung\\\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TEC\sim\Delta TDO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle TEC=\angle TDO\Rightarrow ODCE\) nội tiếp

a) Xét (O) có 

\(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{AMB}=90^0\)(Hệ quả góc nội tiếp)

hay \(\widehat{FMB}=90^0\)

Xét tứ giác BCFM có

\(\widehat{FCB}\) và \(\widehat{FMB}\) là hai góc đối

\(\widehat{FCB}+\widehat{FMB}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: BCFM là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)