Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax. By của nửa đường tròn (O) tại A, B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.

A) chứng minh AC. BD=R²

B) kẻ MH vuông góc AB(H thuộc AB) chứng minh :OC song song với BM. 

C) chứng minh rằng BC đi qua trung điểm đoạn MH

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng phía với nửa đường tròn. Gọi D là điểm bất kì trên nửa đường tròn (D khác A và B). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt Ax và By lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh: MN = AM + BN

b) Chứng minh tam giác MON vuông tại O, từ đó suy ra AM.BN = R2.

c) Chứng minh đường tròn đường kính MN tiếp xúc với AB tại O.

d) AN và BM cắt nhau tại Q, DQ cắt AB tại H.

Chứng minh DQ vuông góc với AB và DQ = QH

Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính ab chứa nửa đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với đường tròn. M là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D.

a) CMR: CD = AC + BD và góc COD vuông

b) CMR: \(AC.BD=R^2\)

c) OC cắt AM tại E; OD cắt BM tại F, chứng minh EF = R

1. Cho nửa đường tròn (O, R), điểm C nằm trên nửa đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By tại A và B của nửa đường tròn. OC cắt Ax tại D, đường vuông góc với OC cắt nửa đường tròn tại E, cắt By tại F.

a) Chứng minh: AD. BF không đổi và DF là tiếp tuyến của (O).

b) AE cắt OC tại G, BC cắt OE tại H. Chứng minh: CH. CB = EG. EA và bằng giá trị không đổi.

c) Gọi I là tiếp điểm của DF với (O). IG cắt BC tại K, IH cắt AE tại L. Chứng minh: KL // CE và A, K, L, B cùng thuộc một đường tròn (đồng viên)

2. Cho nửa đường tròn (O, R), điểm C chạy trên đường tròn sao cho số đo cung AC không lớn hơn 90^o. Kẻ các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn. OC cắt tiếp tuyến tại A tại D, đường vuông góc với OC cắt nửa đường tròn tại E, cắt tiếp tuyến tại B tại F. Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt tiếp tuyến tại A tại M, tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt tiếp tuyến tại A tại N. AE cắt BC tại J. Chứng minh:

a) DF tiếp xúc với (O) và M, J, N thẳng hàng.

b) Gọi I là tiếp điểm của DF với (O). Chứng minh: MJ. JN \(\le\) DI. IF

c) Tìm quỹ tích của điểm J khi C di động mà thỏa mãn các điều kiện trong giả thiết.

3. Cho nửa đường tròn (O, R), P là điểm chính giữa của cung AB, điểm C chạy trên phần tư đường tròn chứa điểm A (C khác A và P). Kẻ các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn. OC cắt tiếp tuyến tại A tại D, đường vuông góc với OC cắt nửa đường tròn tại E, cắt tiếp tuyến tại B tại F.

a) Chứng minh: DF có đúng 1 điểm chung với (O).

b) Gọi I là điểm chung đó, AE cắt BC tại J, AE cắt OC tại G, BC cắt OE tại H. Chứng minh: ICGJ, IEHJ nội tiếp và CE vuông góc với IJ.

c) Gọi K và L là giao của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ICGJ, IEHJ với CE. Chứng minh: GL. GI + HK. HI = GC² + HE² và tính diện tích lớn nhất của hình ICGJHE theo R.

d) Chứng minh: OG. OC + OH. OE \(\ge\) 2. OJ. OI. 

Cần các bạn giúp đỡ, đặc biệt là ý c, d của bài 3 ạ.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB tại H.

a) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax,By lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh M,I,H thẳng hàng.

b) Vẽ đường tròn tâm (O') nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc với AB ở K. Chứng minh SAMB= AK.KB

Cho nửa đường tròn (O;R) có AB là đường kính. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O;R). Trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho MA < MB. Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn (O;R) cắt Ax tại C, cắt By tại D.

a/ Chứng minh CD = AC + BD

b/ Chứng minh góc COD= 90^o và AC.BD=R²

c/ Đường thẳng BM cắt Ax tại N. Đường thẳng AM cắt ON tại E và cắt OC tại H. Đường thẳng NH cắt AB tại F. Gọi K là giao điểm của OC và EF. Chứng minh NA²=MN.NB và KE = KF

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. TừA và B kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB ( Ax, By cùng nằm trên nửa mặt phẳng với nửa đường tròn bờ là AB). Trên nửa đường tròn lấy điểm M bất kỳ, tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh góc COD vuông.

b) Chứng minh CD = AC + BD.

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

d) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MI ⊥ AB.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phătng bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB tại H.

a) Tính MH biết AH = 3cm, HB = 5cm.

b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh M, I, H thẳng hàng.

c) Vẽ đường tròn tâm (O') nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc AB ở K. Chứng minh diện tích tam giác AMB = AK.KB

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn, lấy điểm C bất kì. Vẽ tiếp tuyến (O) tại C cắt Ax, By lần lượt tại D và E. a) AC cắt DO tại M, BC cắt OE tại N. Tử giác CMON là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh rằng MO.DM + ON.NE không đổi c) AN cắt CO tại điểm H. Điểm H di chuyển trên đường nào khi C di chuyển trên nửa đường tròn (O; R).