Bóng đèn sáng là các bóng có tập ước số là lẻ - tức là các bóng số chính phương. Bài toán đưa về là chứng minh các số có tập ước lẻ phải là số chính phương.

Gợi ý giải:

- Giả sử có 1 số X có số ước là lẻ

- Sắp xếp tập ước thành 1 dãy số tăng dần (1 < A 1 < A 2 <... < A 2k+1 < X)

- Lấy X chia cho từng số dãy trên được 1 dãy mới. Chứng minh dãy mới là nghịch đảo của dãy trên ( X > A 2k+1 >... > A 2 > A 1 > 1)

- Chứng minh 2 dãy trên có chung điểm chính giữa (tức số A không + 1)

- Từ đó suy ra X = A k+1 x A k+1 => X chính phương

Chỉ có bóng số 1 là sáng. Bởi vì:1. Bóng số 1 chỉ ấn 1 lần bởi con khỉ thứ 1. 2. Đối với các bóng có số thứ tự lớn hơn 1 như 2,3,... 1000, giả sử ta gọi 1 số bất kỳ trong dãy số này là K. Ta có thể nhận thấy số lượng ước số của không chính là số lần bấm của các chú khỉ. Ví dụ số 10 có ước số là (1,2,5,10) thì khi đó sẽ có 4 chú khỉ bấm vào công tắc số 10 đó là chú khỉ số 1,2,5,10. Do số lượng ước số của 1 số lớn hơn 1 là chẵn nên công tắc thứ không sẽ được bấm với số lần chẵn nên sẽ tắt.

Những cái bóng sẽ sang là bóng số 1 và những bóng có số thứ tự là những số chính phương nhỏ hơn 1000 .

Bởi vì để 1 cái bóng sáng tức phải có số tự nhiên lẻ lần nhấn vào công tắc .

Mà 1 công tắc chỉ được nhấn bởi các ước số của nó ( do 1 con khỉ chỉ bấm vào công tắc là bột số của nó ) . Do đó ta phải có số lượng ước số của 1 bóng đèn là lẻ thì nó mới sáng được .

Điều này chỉ thoả mãn với số 1 và các số chính phương .

Do số 1 chỉ có 1 ước là 1 .

Trường hợp số chính phương là 1 số được bình thường từ 1 số nhỏ hơn .

Do đó trong bộ ước số của nó ngoài các cặp số thì xuất hiện 1 ước số không có cặp .

Điều này thoả mãn yêu cầu số lượng ước số là lẻ .

Do đó các bóng sáng được là : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; ...

Cứ thế đến : 961 = 31 . 31

Vậy : 31 bóng sẽ sáng .

a)

B(18)={0;18;36;54;72;90;108;...}

=>Số có 2 chữ số và là bội của 18 là: 18; 36; 54; 72; 90

b)

B(24)={0;24;48;72;120;...}

=>Các số có 2 chữ số và là bội chung của 18 và 24 là 72

- Có 3 cách viết số 34 dưới dạng tổng của hai số nguyên tố khác nhau: 3 + 31, 5 + 29, 11 + 23.

- Có 1 cách viết số 34 dưới dạng tổng của hai số nguyên tố giống nhau: 17 + 17.

- Có 5 số vừa là bội của 3, vừa là ước của 54: 6, 9, 18, 27, 54.

- Có 2 ước tự nhiên 2 chữ số của 45: 15, 45.

a)4 cách

b)6 số

2 ước là 45 và 15

#Châu's ngốc

31 bóng sẽ sáng. Đó là bóng số 1 và những bóng có số thứ tự là những số chính phương nhỏ hơn 1000. Bởi vì để 1 bóng sáng tức phải có N lẻ lần nhấn vào công tắc. Mà 1 công tắc chỉ được nhấn bởi các ước số của nó (do 1 con khỉ chỉ bấm vào công tắc là bội số của nó). Do đó ta phải có số lượng ước số của 1 bóng đèn là lẻ thì nó mới sáng được. Điều này chỉ thỏa với số 1 và các số chính phương. Do số 1 chỉ có 1 ước là 1. Trường hợp số chính phương là 1 số được bình phương từ 1 số nhỏ hơn. Do đó trong bộ ước số của nó ngoài các cặp ước số thì xuất hiện 1 ước số không có cặp. Điều này là thỏa yêu cầu số lượng ước số là lẻ. Do đó các bóng sáng được là 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,64,81,100,... Cứ thế đến 961 = 31 *31.

Toán lớp 7 mà như thế này á