a: \(AE\cdot AC=AH^2\)

\(AF\cdot AB=AH^2\)

Do đó: AE*AC=AF*AB

=>AE/AB=AF/AC

b: \(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{6\cdot8}{10}=4.8\left(cm\right)\)

Xét tứ giác ADHE có góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE=4,8cm

c: Xét ΔAEFvuông tại A và ΔABC vuông tại A có

AE/AB=AF/AC

Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔABC

a: BC=10cm

=>AD=5cm

b: Xet ΔABC có BE/BA=BD/BC

nên ED//AC và ED=AC/2=4cm

=>ED//AF và ED=AF

=>AEDF là hình bình hành

mà góc FAE=90 độ

nên AEDF là hình chữ nhật

c: Xét tứ giá ADBM có

E là trung điểm chung của AB và DM

DA=DB

Do dó: ADBM là hình thoi

\(C_{ADBM}=5\cdot4=20\left(cm\right)\)

d: Để AEDF là hình vuông thì AE=AF

=>AB=AC

a: \(\widehat{C}=30^0\)

AB=4cm

\(AC=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(\widehat{BHD}=\widehat{HAB}\)

\(\widehat{HAB}=\widehat{ADE}\)

Do đó: \(\widehat{ADE}=\widehat{BHD}\)

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)(Định lý Pytago)

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=64\Rightarrow AC=8\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{25}{576}\Rightarrow AH=\dfrac{24}{5}\left(cm\right)\)

Xét tứ giác AEHF có:

\(\widehat{AEH}=\widehat{EAF}=\widehat{AFH}=90^0\)

=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

=> \(EF=AH=\dfrac{24}{5}\left(cm\right)\)

b) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác ABH và tam giác AHC vuông tại H:

\(AH^2=AE.AB\)

\(AH^2=AF.AC\)

\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=10^2-6^2=64\)

hay AC=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

hay AH=4,8(cm)

Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{EAF}=\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: AH=EF

hay FE=4,8(cm)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

Câu 1: 

a: Xét ΔAHB vuông tạiH có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: \(BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{4\cdot6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}\left(cm\right)\)

\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{144}{13}:6=\dfrac{24}{13}\left(cm\right)\)