Thưa....bạn.....mình....chịu.....

Ê bạn... thiên vị ak.

Sao ko đợi người nào giỏi trả lời

bạn ơi mình chịu game over

1, A= y^3(1-y)^2 = 4/9 . y^3 . 9/4 (1-y)^2

= 4/9 .y.y.y . (3/2-3/2.y)^2

=4/9 .y.y.y (3/2-3/2.y)(3/2-3/2.y)

<= 4/9 (y+y+y+3/2-3/2.y+3/2-3/2.y)^5

=4/9 . 243/3125

=108/3125

Đến đó tự giải

Thử sức với bài 1 xem thế nào :vv
x>0 => 0<x<=1 
f(x)=x^2(1-x)^3
Xét f'(x) = -(x-1)^2x(5x-2) 
Xét f'(x)=0 -> nhận x=2/5 và x=1thỏa mãn đk trên .
 Thử x=1 và x=2/5 nhận x=2/5 hàm số Max tại ddk 0<x<=1 (vậy x=1 loại)
P/s: HS cấp II hong nên làm cách này nhé em :vv 
 

\(\begin{cases}\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}}=\frac{5}{2}\\\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{9}{2}\end{cases}\)

<=>\(\begin{cases}xy+1=\frac{5\sqrt{xy}}{2}\\\sqrt{xy}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\sqrt{x}+\sqrt{y}=\frac{9\sqrt{xy}}{2}\end{cases}\)

Đặt P=\(\sqrt{xy}\);S=\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)(S²\(\ge\)4P)

Ta có HPT: \(\begin{cases}P^2+1=\frac{5P}{2}\\S.P+P=\frac{9P}{2}\end{cases}\)

Tới đây dễ tự làm 

Khử mẫu đặt S P

là sao triều cậu giải thử đi 

+) \(P=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{x^2}{x\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{y\sqrt{1-y^2}}\)

\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}}=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}}\)

+) \(A=x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}\)

\(A^2=x^2+y^2-y^4-x^4+2xy\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\)

+) \(B=x^2+y^2-x^4-y^4=x^2+\left(1-x\right)^2-x^4-\left(1-x\right)^4\)

\(-\frac{B}{2}+\frac{3}{16}=x^4-2x^3+2x^2-x+\frac{3}{16}=\left(x^2-x+\frac{3}{4}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow B\le\frac{3}{8}\)

+) \(A^2\le\frac{3}{8}+2\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\sqrt{1-x^2-y^2+x^2y^2}\)

\(\le\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow A\le\frac{\sqrt{3}}{2}\)

+) \(P=\frac{1}{A}\ge\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

* Mình làm hơi tắt và có vẻ hơi dài

Từ điều kiện đề bài ta có: \(P=\frac{x}{\sqrt{y^2+2xy}}+\frac{y}{\sqrt{x^2+2xy}}\)

Theo Holder: \(P.P.\left[x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)\right]\ge\left(x+y\right)^3\)

\(\Rightarrow P^2\ge\frac{\left(x+y\right)^3}{x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)}\) (*)

Xét: \(\frac{\left(x+y\right)^3}{x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)}-\frac{4}{3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2}{x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)}\ge0\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: \(P\ge\frac{2}{\sqrt{3}}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1\2

áp dụng bunhiacopski ta có: 

P^2 =< (1+1+1)(1/1+x^2 + 1/1+y^2+1/1+z^2)= 3(....)

đặt (...) =A

ta có: 1/1+x^2=< 1/2x

tt với 2 cái kia

=> A=< 1/2(1/x+1/y+1/z) =<1/2 ( xy+yz+xz / xyz)=1/2 ..........

đoạn sau chj chịu

^^ sorry

Bài này là câu lớp 8 rất quen thuộc rùiiiiiii !!!!!!!!

gt <=>    \(\frac{x+y+z}{xyz}=1\)

<=>    \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)

Đặt:   \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)

=>    \(ab+bc+ca=1\)

VÀ:    \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\)

THAY VÀO P TA ĐƯỢC:    

\(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{b^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{c^2}}}\)

=>     \(P=\frac{1}{\sqrt{\frac{a^2+1}{a^2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{b^2+1}{b^2}}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{c^2+1}{c^2}}}\)

=>     \(P=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)

Thay     \(1=ab+bc+ca\)    vào P ta sẽ được:

=>      \(P=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)

=>     \(P=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

=>      \(2P=2.\sqrt{\frac{a}{a+b}}.\sqrt{\frac{a}{a+c}}+2.\sqrt{\frac{b}{b+a}}.\sqrt{\frac{b}{b+c}}+2.\sqrt{\frac{c}{c+a}}.\sqrt{\frac{c}{c+b}}\)

TA ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 2 SỐ SẼ ĐƯỢC:

=>      \(2P\le\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\)

=>     \(2P\le\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+a}\right)+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+b}\right)+\left(\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+c}\right)\)

=>     \(2P\le\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\)

=>     \(2P\le1+1+1=3\)

=>     \(P\le\frac{3}{2}\)

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(a=b=c\)    . MÀ     \(ab+bc+ca=1\)

=>     \(a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}\)

=>     \(x=y=z=\sqrt{3}\)

VẬY P MAX \(=\frac{3}{2}\)      <=>      \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Theo đề bài, ta có:

\(x^3+y^3=x^2-xy+y^2\)

hay \(\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-xy+y^2=0\\x+y=1\end{cases}}\)

+ Với \(x^2-xy+y^2=0\Rightarrow x=y=0\Rightarrow P=\frac{5}{2}\)

+ với \(x+y=1\Rightarrow0\le x,y\le1\Rightarrow P\le\frac{1+\sqrt{1}}{2+\sqrt{0}}+\frac{2+\sqrt{1}}{1+\sqrt{0}}=4\)

Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=1;y=0 và \(P\ge\frac{1+\sqrt{0}}{2+\sqrt{1}}+\frac{2+\sqrt{0}}{1+\sqrt{1}}=\frac{4}{3}\)

Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=0;y=1

Vậy max P=4 và min P =4/3

2/ Ta có

\(\frac{x+y}{4}+\frac{x^2}{x+y}\)\(\ge\)x

\(\frac{y+z}{4}+\frac{y^2}{y+z}\ge y\)

\(\frac{z+x}{4}+\frac{z^2}{z+x}\ge z\)

Từ đó ta có VT \(\ge\)\(\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2}\)= \(\frac{1}{2}\)

Đạt được khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)

Bài này trình bày dài làm biếng làm quá

1/ Ta có 

\(\frac{x^2+\left(1-y^2\right)}{2}\ge x\sqrt{1-y^2}\)

\(\frac{y^2+\left(1-x^2\right)}{2}\ge y\sqrt{1-x^2}\)

=> \(1\ge x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\)

Dấu bằng xảy ra khi x² = 1 - y² và y² = 1 - x²

Hay x² + y² = 1