định lý pain thiên đạo hay quá ta!

dù sao thì vẫn cảm ơn

a;   \(x^2\) + 2 ⋮ \(x+2\) (\(x\ne\) -2)

   \(x^2\) + 2\(x\) - 2\(x\) - 4 - 2 ⋮ \(x+2\) 

 (\(x^2\) + 2\(x\)) - (2\(x\) + 4) - 2 ⋮ \(x+2\)

  \(x\).(\(x+2\)) - 2(\(x+2\)) - 2 ⋮ \(x+2\)

  (\(x+2\))(\(x-2\)) - 2 ⋮ \(x+2\)

                          2 ⋮ \(x+2\)

    \(x+2\) \(\in\) Ư(2) = {-2; -1; 1; 2}

    \(x\) \(\in\) {-4;  -3; -1; 0}

    Vậy \(x\) \(\in\) {-4; -3; -1; 0}

Bài 1:

a/ 5a + 8b = 6a - a + 6b + 2b = 6(a+b) + ( - a + 2b) chia hết cho 3 mà 6(a + b) chia hết cho 3 => - a + 2b chia hết cho 3

b/ 5a + 8b chia hết cho 3 => 2(5a + 8b) = 10a + 16b = 10a + b + 15b chia hết cho 3 mà 15b chia hết cho 3 => 10a + b chia hết cho 3

c/ 5a + 8b chia hết cho 3 => 2(5a + 8b) = 10a + 16b =9a + a + 16b chia hết cho 3 mà 9a chia hết cho 3 => 16b + a chia hết cho 3

Tớ làm giống với Nguyễn Ngọc Anh Minh

Ta chứng minh BĐT sau:

\(\dfrac{1}{x^3+x+2}\ge\dfrac{-x^2+3}{8}\) với \(x>0\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(\left(x^2-3\right)\left(x^3+x+2\right)+8\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^3+2x^2+x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{-a^2+3}{8}+\dfrac{-b^2+3}{8}+\dfrac{-c^2+3}{8}=\dfrac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{8}=\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

5a + 8b ⋮ 3

6a - a + 6b  + 2b ⋮ 3

(6a + 6b) + (-a + 2b) ⋮ 3

6(a + b) + (-a + 2b) ⋮ 3

6(a + b)⋮ 3 

⇒ - a + 2b ⋮ 3 (tính chất chia hết của một tổng)

b; 5a + 8b ⋮ 3

   2.(5a + 8b) ⋮ 3

   10a + 16b ⋮ 3

   10a + b + 15b ⋮ 3

   15b ⋮ 3 

⇒ 10a + b ⋮ 3 (tính chất chia hết của một tổng)

c; 5a + 8b ⋮ 3

   2.(5a  +8b) ⋮ 3

10a + 16b ⋮ 3

16b + a + 9a ⋮ 3

9a ⋮ 3

⇒ 16b + a ⋮ 3 (tính chất chia hết của một tổng)

Ok ok ok

+) 5a + 3b chia hết cho 2012 => 8(5a + 3b) chia hết cho 2012 => 40a + 24b chia hết cho 2012
13a + 8b chia hết cho 2012 => 3(13a + 8b) chia hết cho 2012 => 39a + 24b chia hết cho 2012
=> 40a + 24b - (39a + 24b) chia hết cho 2012 => a chia hết cho 2012
+) 5a + 3b chia hết cho 2012 => 13(5a + 3b) chia hết cho 2012 => 65a + 39b chia hết cho 2012
13a + 8b chia hết cho 2012 => 5(13a + 8b) chia hết cho 2012 => 65a + 40b chia hết cho 2012
=> 65a + 40b - (65a + 39b) chia hết cho 2012 => b chia hết cho 2012
Vậy ...

Bài 3: 

a) Ta có: \(C=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(=31\cdot\left(2+2^6+...+2^{96}\right)⋮31\)(đpcm)

Bài 1: 

Ta có: \(A=3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=3^n\cdot9-2^n\cdot4+3^n-2^n\)

\(=3^n\left(9+1\right)-2^n\left(4+1\right)\)

\(=10\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\)

Vậy: A có chữ số tận cùng là 0

Bài 2: 

Ta có: \(abcd=1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+d\)

\(\Leftrightarrow abcd=1000\cdot a+96\cdot b+8c+2c+4b+d\)

\(\Leftrightarrow abcd=8\left(125a+12b+c\right)+\left(2c+4b+d\right)\)

mà \(8\left(125a+12b+c\right)⋮8\)

và \(2c+4b+d⋮8\)

nên \(abcd⋮8\)(đpcm)