Bg

a) Ta có: B = \(\frac{4n+1}{2n-3}\)            (n thuộc Z)

Để B là số chính phương (scp) thì 4n + 1 chia hết cho 2n - 3 (rồi sau đó xét tiếp)

=> 4n + 1 ⋮ 2n - 3

=> 4n + 1 - 2(2n - 3) chia hết cho 2n - 3

=> 4n + 1 - (2.2n - 2.3) chia hết cho 2n - 3

=> 4n + 1 - (4n - 6) chia hết cho 2n - 3

=> 4n + 1 - 4n + 6 chia hết cho 2n - 3

=> 4n - 4n + 1 + 6 chia hết cho 2n - 3

=> 7 chia hết cho 2n - 3

=> 2n - 3 thuộc Ư(7)

Ư(7) = {1; 7; -1; -7}

Lập bảng:

Vậy n = {2; -2} thì B là số chính phương

b) Để B là phân số tối giản thì 4n + 1 không chia hết cho 2n - 3  (ta chỉ cần loại những số n trong bảng)

=> n không thuộc {2; 5; 1; -2}

c) Để B đạt giá trị lớn nhất (GTLN) thì 2n - 3 nhỏ nhất và > 0

=> 2n - 3 = 1

=> 2n = 1 + 3

=> 2n = 4

=> n = 4 : 2

=> n = 2

Vậy n = 2 thì B đạt GTLN

b) B =\(\frac{4n+1}{2n-3}\) . Để B là phân số tối giản => (4n+1,2n-3) = 1. Ta lại đặt: (4n+1,2n-3) = d

                                                                                                        => 4n + 1\(⋮\)d, 2n - 3\(⋮\)d => 4n +1- 2(2n-3)\(⋮\)d => 7\(⋮\)d

=> Để d =1 => d\(\ne\)7 => \(\orbr{\begin{cases}4n+1\ne7k\\2n-3\ne7k'\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n\ne\frac{7k-1}{4}\\n\ne\frac{7k'+3}{2}\end{cases}\left(k,k'\right)\in}ℤ}\)

c) B =\(\frac{4n+1}{2n-3}\Rightarrow B=\frac{2\left(2n-3\right)+7}{2n-3}\Rightarrow B=2+\frac{7}{2n-3}\).

Để B đạt giá trị nhỏ nhất: \(\Rightarrow\frac{7}{2n-3}\)phải đặt giá trị âm lớn nhất => 2n-3 phải đặt giá trị âm lớn nhất.

2n - 3 <0 => n <\(\frac{3}{2}\)=> n < 1 => n = 1 là giá trị cần tìm. 

Khi đó B_min =\(2+\frac{7}{2.1-3}=2-7=-5\). Tương tự để B_max => \(\frac{7}{2n-3}\) phải đặt giá trị dương lớn nhất. 

                                                                                                                      => 2n - 3 đặt giá trị dương nhỏ nhất .

Lời giải:

Đặt tổng trên là $A$.

Với $n=1$ thì $2^n+3^n+4^n=9$ là scp (thỏa mãn)

Xét $n\geq 2$. Khi đó:

$2^n\equiv 0\pmod 4; 4^n\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow A=2^n+3^n+4^n\equiv 3^n\equiv (-1)^n\pmod 4$

Vì 1 scp khi chia 4 chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$ nên $n$ phải là số chẵn.

Đặt $n=2k$ với $k$ nguyên dương.

Khi đó: $A=2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}\equiv (-1)^{2k}+0+1^{2k}\equiv 2\pmod 3$
Một scp khi chia 3 chỉ có thể có dư là 0 hoặc 1 nên việc chia 3 dư 2 như trên là vô lý

Vậy TH $n\geq 2$ không thỏa mãn. Tức là chỉ có 1 giá trị $n=1$ thỏa mãn.

-Vì 4n+5, 9n+7 đều là các số chính phương nên đặt \(4n+5=a^2;9n+7=b^2\)

\(\Rightarrow9\left(4n+5\right)=9a^2;4\left(9n+7\right)=4b^2\)

\(\Rightarrow36n+45=9a^2;36n+28=4b^2\)

\(\Rightarrow9a^2-4b^2=36n+45-\left(36n+28\right)=17\)

\(\Rightarrow\left(3a-2b\right)\left(3a+2b\right)=1.17\)

-Vì \(3a-2b< 3a+2b\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3a-2b=1\\3a+2b=17\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3\\b=4\end{matrix}\right.\)

-Vậy \(n=1\) thì 4n+5 và 9n+7 là các số chính phương.

1. Câu hỏi của Đình Hiếu - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath