xem lại đề

\(S_1+S_2+S_3=\left[\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\right]+\left[\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}y\right]+\left[\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}y\right]\)

\(=\left[\frac{b}{a}x+\frac{a}{b}x\right]+\left[\frac{c}{b}y+\frac{b}{c}y\right]+\left[\frac{c}{a}z+\frac{a}{c}z\right]\)

\(=\left[\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right]x+\left[\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right]y+\left[\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right]z\)

\(S_1+S_2+S_3\ge2x+2y+2z=2\left[x+y+z\right]=2\cdot5=10\)

Vậy : \(S_1+S_2+S_3\ge10\)

Lấy S1 + S2 + S3, thay phép tính vào, sử dụng tính chất phân phối 

KẾT QUẢ: S1 + S2 + S3 >, = 2.(X + Y+ Z) = 2.5 = 10

Theo lời của bạn Dung, Ngọc bổ sung cho Vũ thêm cách nữa nhé :

Nếu đề tương tự như cách 1 mình làm thì ta có : 

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\right)+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+c^2x^2+b^2z^2+c^2y^2=\left(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\right)+2\left(axby+bycz+czax\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2aybx+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2azcx+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)

Mà mỗi hạng tử ở vế phải luôn không âm, do vậy :

\(\hept{\begin{cases}ay-bx=0\\az-cx=0\\bz-cy=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\\\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\end{cases}}\) \(\Rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

khó quá trời đất ơi!

Hình như đề sai, phải là \(\frac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\). Nếu vậy thì giải như sau : 

Từ giả thiết ta suy ra \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\) (1)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có : \(\left(ax+by+cz\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\) (2)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\) (3)

Từ (1) , (2) và (3) ta có đpcm.