a: Xét ΔCAB có CF/CA=CE/CB

nên FE//AB và FE=AB/2

=>FE//AD và FE=AD

Xét tứ giác AFED có

FE//AD

FE=AD

góc FAD=90 độ

Do đó: AFED là hình chữ nhật

Xét tứ giác AECK có

F là trung điểm chung của AC và EK

EA=EC

Do đó: AECK là hình thoi

b: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot5=10\left(cm^2\right)\)

a: Xét ΔCAB có CF/CA=CE/CB

nên FE//AB và FE=AB/2

=>FE//AD và FE=AD

Xét tứ giác AFED có

FE//AD

FE=AD

góc FAD=90 độ

Do đó: AFED là hình chữ nhật

Xét tứ giác AECK có

F là trung điểm chung của AC và EK

EA=EC

Do đó: AECK là hình thoi

b: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot5=10\left(cm^2\right)\)

Bài 1:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có: 

+ D là trung điểm của AB (gt).

+ E là trung điểm của AC (gt).

=> DE là đường trung bình (Định nghĩa đường trung bình trong tam giác).

=> DE = \(\dfrac{1}{2}\)BC (Tính chất đường trung bình trong tam giác).

Mà BC = 10 cm (gt).

=> DE = 5 cm.

Vậy DE = 5 cm.

b) Xét tam giác ABC vuông tại A có: 

DE là đường trung bình (cmt)

=> DE // BC (Tính chất đường trung bình trong tam giác).

Ta có: F là trung điểm của BC (gt). => BF = CF = \(\dfrac{1}{2}\)BC.

Mà DE = \(\dfrac{1}{2}\)BC (cmt).

=> BF = CF = DE = \(\dfrac{1}{2}\)BC.

Xét tứ giác BDEF có: 

+ BF = DE (cmt).

+ BF // DE (do DE // BC).

=> Tứ giác BDEF là hình bình hành (dhnb).

c) Xét tam giác ABC vuông tại A:

+ D là trung điểm của AB (gt).

+ F là trung điểm của BC (gt).

=> DF là đường trung bình (Định nghĩa đường trung bình trong tam giác).

=> DF // AC  và DF = \(\dfrac{1}{2}\)AC (Tính chất đường trung bình trong tam giác). 

Ta có: DF = \(\dfrac{1}{2}\)AC (cmt).

Mà AE = CE = \(\dfrac{1}{2}\)AC (E là trung điểm AC).

=> AE = CE = DF = \(\dfrac{1}{2}\)AC.

Xét tứ giác ADEF có:

+ AE = DF (cmt).

+ AE // DF (do DF // AC).

=> Tứ giác ADEF là hình bình hành (dhnb).

Mà ^DAE = 90^o (do tam giác ABC vuông tại A).

=> Tứ giác ADEF là hình chữ nhật (dhnb).

d) Gọi I là giao điểm của AF và DE.

Xét hình chữ nhật ADEF có: I là giao điểm của AF và DE (cách vẽ).

=> I là trung điểm của AF và DE (Tính chất hình chữ nhật). (1)

Ta có: G là điểm đối xứng của F qua D (gt).

=> D là trung điểm của CG.

=> DF = \(\dfrac{1}{2}\)GF.

Mà DF = \(\dfrac{1}{2}\)AC (cmt).

=> GF = AC.

Xét tứ giác GACF có:

+ GF = AC (cmt).

+ GF // AC (do DF // AC).

=> Tứ giác GACF là hình bình hành (dhnb).

=> Giao điểm của 2 đường chéo AF và GC là trung điểm mỗi đường (Tính chất hình bình hành).

Mà I là trung điểm của AF (cmt)

=> I là trung điểm của GC (2).

Từ (1) và (2) => Các đường thẳng AF; GC; DE cùng cắt nhau tại điểm I.

hay các đường thẳng AF; GC; DE cùng cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (đpcm).

Bài 1:

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

Bài 4 :

Để tứ giác ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{DAB}=\widehat{DCB}=120^o\\\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\end{cases}}\)

Lại có : \(\widehat{DAB}+\widehat{DCB}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=120^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=60^o\)

a) Xét ΔABC có 

F là trung điểm của AC(gt)

M là trung điểm của BC(gt)

Do đó: FM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒FM//AB và \(FM=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà E∈AB và \(AE=\dfrac{AB}{2}\)(E là trung điểm của AB)

nên FM//AE và FM=AE

Xét tứ giác AEMF có 

FM//AE(cmt)

FM=AE(cmt)

Do đó: AEMF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AEMF có \(\widehat{FAE}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

nên AEMF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

a) ΔABC có FB=FC ( gt)

                EA=EC ( gt)

Suy ra FE là đường trung bình của ΔABC

b) Ta có: FE=1/2 AB và FE//AB ( FE là đường trung bình của ΔABC)

mà AD cũng =1/2 AB. suy ra FE=AD (1)

có AD∈AB mà FE//AB. suy ra FE//AD (2)

Từ (1) và (2) ➜ DAEF là hình bình hành

Bạn tự vẽ hình nha, sorry vì mình biet nhiu đó