\(M+N=-xy^2+3x^2y-x^2y^2+\dfrac{1}{2}x^2y-xy^2-\dfrac{2}{3}x^2y^2\)

\(=-2xy^2+\dfrac{7}{2}x^2y-\dfrac{5}{3}x^2y^2\)

M = x^2 + y^2 - xy - x + y + 1

12M = 12x^2 + 12y^2 - 12xy - 12x + 12y + 12

12M = 3(4x^2 + y^2 + 1 - 4xy - 4x + 2y) + 9y^2 + 6y + 9

12M = 3(2x - y - 1)^2 + (3y + 1)^2 + 8

12M > 8

tự xét dấu = 

M = x² + y² - xy - x + y +1

2M = 2x² + 2y² - 2xy - 2x + 2y + 2

2M = ( x² - 2xy + y² ) + ( x² -2x +1 ) + ( y² + 2y + 1)

2m = ( x - y )² + ( x-1 )² + ( y + 1 )²

Ta có \(\left(x-y\right)^2\ge\forall x;y\)

          \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

          \(\left(y+1\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow2M\ge0\forall x;y\)

Dấu "=" xảy ra khi x - y = 0; x - 1 = 0; y + 1 = 0

                      <=> x = y ; x = 1; y = -1 ( vô lí )

Vậy không tồn tại giá trị nhỏ nhất nào của biểu thức M

bạn sửa lại là 9-2t^2 nhé , mình đánh nhầm ^^

chuẩn nhé !

Hệ \(\hept{\begin{cases}x+y\le2\\x^2+y^2+xy=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2-a\left(a\ge0\right)\\x^2+y^2+xy=3\end{cases}}}\)

Do đó \(\hept{\begin{cases}x+y=2-a\\xy=\left(2-a\right)^2-3\end{cases},\Delta=S^2-4P\ge0\Rightarrow0\le a\le4}\)

\(T=x^2+y^2+xy-2xy=9-2\left(2-a\right)^2\)

minT=1 khi x=1; y=1 hoặc x=-1; y=-1

maxT=9 khi \(\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{3};y=-\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3};y=\sqrt{3}\end{cases}}\)

Lời giải:

Do $(2023-x)^2\geq 0$ với mọi $x$ nên:

$3(y-3)^2=16-(2023-x)^2\leq 16<18$

$\Rightarrow (y-3)^2< 6$

Mà $(y-3)^2\geq 0$ và $(y-3)^2$ là số chính phương với mọi $y$ nguyên.

$\Rightarrow (y-3)^2=0$ hoặc $(y-3)^2=4$

Nếu $(y-3)^2=0$ thì $y=3$.

Khi đó: $(2023-x)^2=16-3.0^2=16$

$\Rightarrow 2023-x=4$ hoặc $2023-x=-4$

$\Rightarrow x=2019$ hoặc $x=2027$

Nếu $(y-3)^2=4\Rightarrow y-3=2$ hoặc $y-3=-2$

$\Rightarrow y=5$ hoặc $y=1$
Khi đó:

$(2023-x)^2=16-3.4=4=2^2=(-2)^2$
$\Rightarrow 2023-x=2$ hoặc $2023-x=-2$

$\Rightarrow x=2021$ hoặc $x=2025$