Chứng minh bất đẳng thức Cô - si với 3 số không âm a,b,c
\(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho 2 số a,b không âm . Chứng minh:
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ( Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
áp dụng BĐT cô-si ta có:
\(\frac{a+b}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\)\(\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=2\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{4}}=2\frac{\sqrt{ab}}{2}=\sqrt{ab}\)
Vậy \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=0 hoặc a=b=1
Đúng 0
Bình luận (0)
Đề yêu cầu chứng minh bất đẳng thức Côsi chứ không phải áp dụng nó!
Biến đổi tương đương bình thường thôi:
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Do bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức ban đầu đúng. Một cách trình bày khác là ghi ngược từ cuối lên đầu!
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\Leftrightarrow a=b\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh bất đẳng thức :
a) \(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
b) \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)với mọi a, b, c > 0
(Không dùng bất đẳng thức Cô-si)
Chứng minh bất đẳng thức cô-si với 3 số a,b,c không âm: \(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
Áp dụng chứng minh bất đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
Bạn tham khảo cách chứng minh tại đây :
Câu hỏi của Nguyễn Huy Thắng - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Áp dụng : Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
Nhân vế theo vế ta được :
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=3.3.1=9\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Với 3 số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có :
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (1)
\(\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\) (2)
\(\dfrac{c+a}{2}\ge\sqrt{ca}\) (3)
Cộng từng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được :
\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh
Mở rộng cho bốn số a, b, c, d không âm, ta có bất đẳng thức :
\(a+b+c+d\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}\)
Mở rộng cho năm số a, b, c, d, e không âm, ta có bất đẳng thức : \(a+b+c+d+e\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{de}+\sqrt{ea}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
áp dụng BĐT AM-GM với 2 số không âm
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
cộng các vế của BĐT ta có
\(2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
chia cả hai vế của BĐT cho 2 ta có đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hai số a, b không âm. Chứng minh :
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
(Bất đẳng thức Cô - si cho hai số không âm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Nếu n= 2, tức có hai giá trị x1 và x2, và từ giả thiết ở trên, ta có:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&\neq x_{2}\\[3pt]x_{1}-x_{2}&\neq 0\\[3pt]\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}&\geqslant 0\\[3pt]x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}&\geqslant 0\\[3pt]x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}&\geqslant 4x_{1}x_{2}\\[3pt]\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}&\geqslant 4x_{1}x_{2}\\[3pt]{\Bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}&\geqslant x_{1}x_{2}\\[3pt]{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}&\geqslant {\sqrt {x_{1}x_{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96dce83e606652266bc8708875bcc82a5b338faa)
điều phải chứng minh - ở đây \(x_1=a;x_2=b\)
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\)
-Dấu đẳng thức trên xảy ra khi: Trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh :
x^3+y^3+z^3-3xyzdfrac{1}{2}left(x+y+zright)left[left(x-yright)^2+left(y-zright)^2+left(z-xright)^2right]
Từ đó, chứng tỏ :
a) Với ba số x,y,z không âm thì :
dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}ge xyz
b) Với ba số a, b, c không âm thì :
dfrac{a+b+c}{3}gesqrt[3]{abc}
(Bất đẳng thức Cô - si cho ba số không âm)
Đọc tiếp
Chứng minh :
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)
Từ đó, chứng tỏ :
a) Với ba số \(x,y,z\) không âm thì :
\(\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz\)
b) Với ba số a, b, c không âm thì :
\(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)
(Bất đẳng thức Cô - si cho ba số không âm)
Khai triển vế phải và rút gọn ,ta được kết quả vế phải bằng vế trái .
a )Nếu x ,y,z không âm thì x +y +z không âm .Suy ra
x3 +y3 +z3 -3xyz >=0.
Từ đó ,ta có \(\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}>=xyz.\)
b ) Đặt x \(\sqrt[3]{a}\) ,y =\(\sqrt[3]{b}\) ,z =\(\sqrt[3]{c}\)
Ta thấy a ,b ,c không âm ,nên x ,y ,z không âm .Dựa vào kết quả câu a ) ta có
\(\dfrac{\left(\sqrt[3]{a}\right)^3+\left(\sqrt[3]{b}\right)^3+\left(\sqrt[3]{c}\right)^3}{3}>=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}.\sqrt[3]{c}\)
Suy ra \(\dfrac{a+b+c}{3}>=\sqrt[3]{abc}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh:
x
3
+
y
3
+
z
3
-
3
x
y
z
1
/
2
.
x
+...
Đọc tiếp
Chứng minh: x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z = 1 / 2 . x + y + z x - y 2 + y - z 2 + z - x 2
Từ đó chứng tỏ: Với ba số a, b, c không âm thì x 3 + y 3 + z 3 3 ≥ x y z
(Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau.
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Nếu a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 thì :
Đúng 1
Bình luận (0)
Chỗ hai số a,b không âm. Chứng minh:
a+b/2>=√ab(bất đẳng thức cô si cho hai số không âm)
Xem chi tiết
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge0\)
Dấu ''='' xảy ra khi a = b
Cho hai số a, b, không âm. Chứng minh: a + b 2 ≥ a b (Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Vì a ≥ 0 nên √a xác định, b ≥ 0 nên b xác định
Ta có: a - b 2 ≥ 0 ⇔ a - 2 a b + b ≥ 0
⇒ a + b ≥ 2 a b ⇔ a + b 2 ≥ a b
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.
Đúng 0
Bình luận (0)