Câu hỏi của phan tuấn anh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath cái này y hệt, tham khảo đi nếu vẫn chưa làm dc thì nhắn cho mk

\(x+\sqrt{x+yz}=x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=x+\sqrt{x^2+yz+x\left(z+y\right)}\)

\(\ge x+\sqrt{2\sqrt{x^2yz}+x\left(y+z\right)}=x+\sqrt{x\cdot2\sqrt{yz}+x\left(y+z\right)}=x+\sqrt{x\left(y+z+2\sqrt{yz}\right)}\)

\(=x+\sqrt{x\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}=x+\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}\le\frac{x}{x+\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

tương tự :

\(\frac{y}{y+\sqrt{y+xz}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{z}}\)

\(\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) 

cộng vế theo vế ta được 

\(\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\le\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

dấu "=" xảy tra khi x=y=z=1/3

cái này thì chịu

khó muốn chết luôn làm sao làm đc

Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!

Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)

Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0

Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)

Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)

Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)

Vậy...

P/s: Ko chắc nha!

dit me may 

bạn bui thai hoc sao lại cmt linh tinh vậy :)) bạn ko có học thức à :> mà ý bạn cmt như vậy là sao hả ? 

Theo giả thiết \(\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{xy}{z}}=3\)

\(\Rightarrow\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}+2x+2y+2z=9\)

Mặt khác , ta có BĐT phụ : \(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow9\ge3\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\le3\)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz \(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le3\left(x+y+z\right)\le9\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le3\)

Ta có : \(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{2016}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{2007}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(\ge2.\sqrt{9}+\frac{2007}{3}=675\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(Q=\Sigma\frac{x^4}{x^2+\sqrt{xy.zx}}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1 

Ta có \(x+y+z=1\Rightarrow x+y=1-z,\) ta có:

\(\frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}=\frac{1-z}{\sqrt{xy+1-x-y}}=\frac{1-z}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}}\)

\(\frac{y+z}{\sqrt{yz+x}}=\frac{1-x}{\sqrt{yz+1-y-z}}=\frac{1-x}{\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}}\)

\(\frac{z+x}{\sqrt{zx+y}}=\frac{1-y}{\sqrt{zx+1-x-z}}=\frac{1-y}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}}\)

Khi đó \(P=\frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}+\frac{y+z}{\sqrt{yz+x}}+\frac{z+x}{\sqrt{zx+y}}=\frac{1-z}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}}+\frac{1-x}{\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}}+\frac{1-y}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}}\)

               \(\ge3\sqrt[3]{\frac{1-z}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\times\frac{1-x}{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}\times\frac{1-y}{\left(1-x\right)\left(1-z\right)}}=3\)

Vậy \(MinP=3\) đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) 

\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy+z}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{yz+x}}+\dfrac{z+x}{\sqrt{xz+y}}\)

\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy+\left(x+y+z\right)z}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{yz+\left(x+y+z\right)x}}+\dfrac{x+z}{\sqrt{zx+\left(x+y+z\right)y}}\)

\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy+xz+yz+z^2}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{yz+x^2+xy+xz}}+\dfrac{x+z}{\sqrt{xz+xy+y^2+yz}}\)

\(P=\dfrac{x+y}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\dfrac{y+z}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{x+z}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{\sqrt{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2}}}=3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}=3\)

\(\Rightarrow P\ge3\)

Vậy \(P_{min}=3\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)