a)) Xét tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao => AH cũng là đường trung tuyến 

=> BH = HC

Xét tam giác BCD có: AH // BD (vì cùng vuông góc với BC) và H là trung điểm của BC

=> AH là đường trung bình ==> \(AH=\frac{1}{2}BD\)=> BD = 2AH

b) Xét tam giác BCD vuông tịa B có BK là đường cao

=> \(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{BD^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

=> \(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{\left(2AH\right)^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}\)

a) Do AH là đường cao trong tam giác ABC cân tại A

\(\Rightarrow\) AH cũng là đường trung tuyến trong tam giác ABC

Suy ra H là trung điểm của BC.

mà AH//BD (vì cùng vuông góc với BC)

\(\Rightarrow\) AH là đường trung bình của tam giác DBC

\(\Rightarrow\) 2AH=BD

b)Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông có 

\(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BD^2}+\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{\left(2AH\right)^2}+\dfrac{1}{BC^2}\) \(=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)

Vậy...

Tham khảo:

Bài 3: 

Xét tứ giác BEDC có góc BEC=góc BDC=90 độ

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

=>góc AED=góc ACB

=>ΔAED đồng dạng với ΔACB

=>ED/CB=AE/AC=(cos60)=1/2

=>ED=1/2CB=EM=DM

=>ΔMDE đều

Do tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời là trung tuyến

Hay H là trung điểm BC \(\Rightarrow CH=\dfrac{BC}{2}\)

Từ H hạ HD vuông góc AC

\(\Rightarrow HD||BK\) (cùng vuông góc AC)

\(\Rightarrow\) HD là đường trung bình tam giác ACH

\(\Rightarrow HD=\dfrac{BK}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACH:

\(\dfrac{1}{HD^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{CH^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(\dfrac{BK}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}\Rightarrow\dfrac{4}{BK^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{4}{BC^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{4AH^2}+\dfrac{1}{BC^2}\)

a, Chứng minh AH là đường trung bình của tam giác BCD

b, Sử dụng hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vuông trong tam giác vuông BCD và áp dụng câu a)